Розв'язання

Спочатку за допомогою елементарних перетворень доб'ємося того, щоб перший елемент в першому стовпці був відмінний від нуля, в той час як останні елементи цього стовпця перетворились в нулі. Для цього залишимо перший рядок без зміни, а до кожного із останніх рядків додамо перший, помножений на відповідне число; до другого – перший, помножений на 1, до третього – перший, помножений на -3, до четвертого – перший, помножений на -7. Одержимо матрицю

Тепер доб’ємося, щоб другий елемент другого стовпця був відмінний від нуля, а всі наступні за ним елементи цього стовпця були рівні нулю. Для цього другий рядок залишаємо без зміни, а до кожного із наступних за ним рядків додаємо другий, помножений на відповідне число; до третього – другий, помножений на 2, до четвертого – другий, помножений на 4. Одержимо матрицю:

Третій рядок складається із нулів; викреслимо його, одержимо матрицю:

яка має той же ранг, що і матриця А. Третій елемент в третьому стовпці рівний нулю, але можна перетворити так, щоб він був відмінний від нуля, якщо переставити третій і четвертий стовпці. Одержимо матрицю

яка має вигляд, що вимагається. Ранг В дорівнює 3, отже, і ранг даної матриці А також дорівнює 3.

Приклад №2.

Знайти який-небудь базис даної системи векторів і виразити всі вектори системи, що ні входять в цей базис, через базисні вектори: a₁=(1, 2, 3, 2), a₂=(-2, 1, -2, -5), a₃=(1, -1, -1, 1), a₄=(-1, 2, 1, -2), a₅=(1, -3, -2, 2).

Розв'язання.

Складаємо матрицю А, рядками якої є компоненти відповідних векторів; справа від кожного рядка запишемо його вираз через

За допомогою елементарних перетворень доб'ємося того, щоб перший елемент в першому стовпці був відмінний від нуля, в той час як останні елементи цього стовпця перетворились в нулі. Для цього залишимо перший рядок без зміни, а до кожного із останніх рядків додамо перший, помножений на відповідне число; до другого – перший, помножений на 2, до третього – перший, помножений на -1, до четвертого – перший, помножений на 1, до п'ятого – перший, помножений на -1. Справа від матриці запишемо перетворення над векторами. Одержимо матрицю:

В одержаній матриці поміняємо місцями другий та четвертий стовпці. Маємо матрицю:

В одержаній матриці перший, другий, четвертий і п'ятий рядки залишаємо без зміни, а до третього рядка додамо другий, помножений на -1. Одержимо матрицю:

За допомогою елементарних перетворень добиваємося того, щоб четвертий і п'ятий елементи третього стовпця були нулі. Для цього, перший, другий і третій рядки залишаємо без зміни, а до останніх рядків додамо третій рядок, помножений на відповідне число: до четвертого – третій, помножений на 1/2, до п'ятого – третій, помножений на -5/8. Справа від матриці записуємо всі елементарні перетворення над векторами a₁, a₂, a₃, a₄, a₅.

Після всіх перетворень четвертий та п'ятий рядки матриці А перетворились в нулі. Звідси, рядки a₁, a₂, a₃ утворюють базис системи векторів. Таким чином, ранг матриці А дорівнює 3. Із рівностей

a₁+a₄+1/2(-3a₁-a₂+a₃)=0,

-a₁+a₅-5/8(-3a₁-a₂+a₃)=0,

знаходимо вирази векторів a₄ і a₅ через базисні вектори:

a₄=1/2a₁+1/2a₂-1/2a₃

a₅=-7/8a₁-5/8a₂-+5/8a₃

Поиск по сайту: