АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

МЕТОД ГАУССА

Читайте также:
  1. A. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов
  2. B) должен хорошо знать только физико-химические методы анализа
  3. B. метода разделения смеси веществ, основанный на различных дистрибутивных свойствах различных веществ между двумя фазами — твердой и газовой
  4. D. аналитический метод.
  5. I. Естественные методы
  6. I.Организационно – методический раздел
  7. II Методика виконання курсової роботи.
  8. II. ПОРЯДОК И МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКЗАМЕНА
  9. II. Учебно-методический блок
  10. II. Учебно-методический блок
  11. III Барьерный метод
  12. III. Методика расчета эффективности электрофильтра.

Найбільш поширеним методом розв'язування системи лінійних рівнянь є метод Гаусса. Під час розв'язування системи цим методом без додаткового дослідження встановлюється: сумісна система чи несумісна, визначена чи невизначена.

Нехай задано систему m лінійних рівнянь з n невідомими:

(1)

Якщо над даною системою провести елементарні перетворення: а) переставляння двох рівнянь; б) множення обох частин будь-якого рівняння на число с, відмінне від нуля; в) додавання до обох частин одного із рівнянь системи відповідних частин другого рівняння, помножених на будь яке число с; г) викреслювання рівнянь виду 0=0, то одержимо систему, рівносильну даній.

Складемо розширену матрицю

із коефіцієнтів при невідомих та стовпця вільних членів. За допомогою елементарних перетворень над рядками (тільки над рядками!) матриці зведемо матрицю А до вигляду:

(2)

де всі діагональні елементи b11, b22,..., b rr відмінні від нуля, а елементи, розташовані нижче діагональних, рівні нулю. Матриця (2) відповідає системі рівнянь.

(1’)

Яка одержується із системи (1) за допомогою деякого числа елементарних перетворень, а значить, рівносильна системі (1). Розв'язання системи (1’) не складатиме труднощів. А саме, якщо R=n, то із останнього рівняння, яке буде мати вигляд bnnxn=cn (де bnn¹0), знаходимо єдине значення xn, із попереднього рівняння – значення xn-1 (так-як xn уже відоме) і т.д., накінець із першого рівняння – значення x1. Таким чином, якщо R=n, то система має єдиний розв'язок. Якщо ж R<n, то система (1') легко зводиться до системи вигляду:

(R<n) (1’)

яка і буде по суті загальним розв'язком системи (1).

Невідомі x r+ 1,..., xn називатимуться вільними. Їм можна надавати яких завгодно числових значень і потім із (1’’) знайти x1,..., x r.

Таким чином, зведення матриці А до вигляду (2) можливе тільки в тому випадку, коли дана система рівнянь (1) сумісна. Якщо ж система (1) несумісна, то таке зведення неможливе. Це виражається в тому, що в процесі перетворення матриці А в ній може з'явитися рядок, у якому всі елементи рівні нулю, крім останнього. Такий рядок буде відповідати рівнянню вигляду:

0x1+0x2+...+0xn=B

або 0=B, якому не задовольняють ніякі значення невідомих (так як B¹0). вданому випадку система несумісна.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)