РАНГ І БАЗИС СКІНЧЕННОЇ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ

n -вимірним вектором називається упорядкована сукупність дійсних чисел. Для позначення векторів вживають символи

Два вектори рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх відповідні компоненти. Над векторами проводяться математичні операції:

а) додавання векторів за правилом

A+B=(a₁, a₂,..., a_n)+(b₁, b₂,..., b_n)=(a₁+b₁, a₂+b₂,..., a_n+b_n)

б) множення вектора на число за правилом

la= l(a₁, a₂,..., a_n)=(la₁, la₂,..., la_n)

Система m n-вимірних векторів a₁, a₂,..., a_m називається лінійно залежною, якщо можна підібрати такі числа l₁, l₂,..., l_m, з яких хоч би одно не дорівнювало нулю, що справджується рівність

l₁a₁+l₂a₂,..., l_ma_m=0 (1)

Система векторів a₁, a₂,..., a_m, є лінійно незалежною, якщо рівність (1) справджується лише тоді, коли всі l_i дорівнюють нулю.

Якщо система векторів є лінійно залежною, то хоча би один з векторів цієї системи є лінійною комбінацією інших. Будь-яка система векторів, яка включає нуль вектор 0=(0, 0,.., 0), є лінійно залежною. Довільна підсистема лінійно незалежної системи векторів є також лінійно незалежною системою.

Досить часто ставиться завдання знайти існуючу лінійну залежність в системі векторів. Це питання можна розв'язати, досліджуючи властивості матриці, складеної з компонентів векторів.

Якщо розглядається система m n-вимірних векторів

a₁=(a₁₁, a₁₂,..., a_1n),

a₂=(a₂₁, a₂₂,..., a_2n),

×××××××××××××××××××××××××××××××××××××

a_m=(a_m1, a_m2,..., a_mn).

то досліджують матрицю даної системи векторів

При цьому важливим є поняття рангу матриці

Рангом матриці називається максимальне число її лінійно незалежних рядків. Найбільш зручним способом обчислення рангу являється спосіб елементарних перетворень. Нагадаємо, що елементарними перетвореннями над рядками матриці називаються такі дії:

1) переставляння місцями рядків матриці;

2) множення рядка матриці на довільне число, відмінне від нуля;

3) додавання до будь-якого рядка матриці іншого рядка, помноженого на будь-яке число, відмінне від нуля;

4) викреслювання рядка, який складається із одних нулів.

Ранг матриці при елементарних перетвореннях не змінюється.

Будь-яку ненульову матрицю А за допомогою елементарних перетворень можна звести до вигляду:

де всі діагональні елементи b₁₁, b₂₂,..., b _rr відмінні від нуля, а елементи, розташовані нижче діагональних, рівні нулю. В матриці В система всіх рядків лінійно незалежна, тому її ранг дорівнює R. Враховуючи, що ранг не змінюється при елементарних перетвореннях, можемо записати: ранг А=R або Rang A=R

В процесі зведення матриці А до матриці В (із R рядків) деякі рядки матриці А перетворюються в нульові і відкидаються; R рядків, які залишилися, переходять в рядки матриці В. Тому R рядків матриці А і будуть складати базис системи рядків цієї матриці.

Елементарні перетворення матриці А зводять до нульових ті рядки матриці, які являються лінійними комбінаціями інших(попередніх) рядків. Отже, після викреслення нульових рядків із матриці А, ті R рядків, які залишилися, мають той же ранг, що і А, тобто R рядків лінійно незалежні і утворюють базис.

Взагалі не має значення, проводяться елементарні перетворення над рядками чи над стовпцями матриці. При розв'язуванні задач частіше користуються перетвореннями рядків, допускаючи переставляння стовпців.

ПРИКЛАДИ:

Приклад №1.

Знайти ранг матриці

Поиск по сайту: