Властивості детермінанта

1.Детермінант n-го порядку при транспонуванні (заміна всіх рядків детермінанта його стовпцями з тими самими номерами) не змінює своєї величини.

2. Якщо в детермінанті n-го порядку поміняти місцями два рядки (стовпчики), то детермінант змінить знак, а його абсолютна величина на зміниться.

3. Детермінант з двома однаковими рядками (стовпцями) дорівнює нулю.

4. Множення будь-якого рядка (стовпця) детермінанта на будь-який коефіцієнт рівносильне множенню детермінанта на цей коефіцієнт.

5. Якщо всі елементи будь якого рядка (стовпця) детермінанта дорівнюють нулю, то і детермінант дорівнює нулю.

6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) детермінанта пропорційні, то детермінант дорівнює нулю.

7. Якщо до елементів якогось рядка (стовпця) детермінанта додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то величина детермінанта не зміниться.

8. Якщо елементи P-го рядка (стовпця) детермінанта є сумами двох доданків:

,

то цей детермінант можна подати як суму двох детермінантів:

де D₁ і D₂ детермінанти, утворені з D заміною елементів P-го рядка (стовпця) відповідно першими або другими доданками цих елементів

9. Якщо до елементів якогось рядка (стовпця) детермінанта n-го порядка додати відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне й те саме число, то величина детермінанта не зміниться.

10. Трикутний детермінант, у якого всі елементи, що лежать вище (нижче) діагоналі, нулі, дорівнює добутку елементів головної діагоналі.

11. Детермінант n-го порядку, у якого всі елементи, що лежать вище (нижче) побічної діагоналі, нулі, дорівнює добутку числа (-1)n^(n-1)/2 та елементів побічної діагоналі:

Мінор M_ij.

Мінором M_ij, який відповідає елементові а_ij детермінанта n-го порядку, називають детермінант (n-1)-го порядку, утворений із детермінанта n-го порядку викреслюванням і-го рядка та j-го стовпця, тобто

Мінор, взятий із знаком (-1)^i+j називається алгебраїчним доповненням А_ij елемента a_ij детермінанта n-го порядку: A_ij=(-1)^i+j M_ij.

12. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) детермінанта n-го порядку на їх алгебраїчні доповнення дорівнює детермінанту n-го порядку, тобто

Одержане співвідношення називається відповідно розкладом детермінанта за елементами i-го рядка (розклад детермінанта за елементами j-го стовпця).

13. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) детермінанта n-го порядку на алгебраїчні доповнення відповідних елементів іншого рядка (стовпця) цього детермінанта дорівнює нулю.

Детермінанти першого, другого та третього порядків обчислюються за формулами

(із добутку елементів, які стоять на головній діагоналі, віднімається добуток елементів, які стоять на побічній діагоналі);

При обчисленні детермінантів третього порядку зручно користуватися правилом трикутників, зображених на схемі:

або правилом доповнення: до детермінанта дописують справа перший і другий стовпці:

Добутки із трьох елементів, які стоять на головній діагоналі та на прямих, їй паралельних, беруться зі знаком "+", а добутки із трьох елементів, які стоять на побічній діагоналі та на прямих, їй паралельних, беруться зі знаком «–».

Детермінанти четвертого і більш високих порядків при обчисленні зводяться до детермінантів більш низьких порядків (наприклад, третього, другого) або до трикутних.

ПРИКЛАДИ:

Приклад №1.

Обчислити детермінант

Розв'язання.

1-й спосіб. Скористаємося формулою для обчислення детермінанта третього порядку:

2-й спосіб. Відмітимо, що в другому стовпці всі елементи, крім одного, дорівнюють нулю. Тоді розкладемо детермінант за елементами другого стовпця:

Зауваження. Перший і третій доданки в розкладі можна було не вписувати.

Приклад №2.

Обчислити детермінант

Розв'язання.

Якщо детермінант розкласти за елементами якого-небудь рядка або стовпця, то його обчислення зводиться до обчислення чотирьох детермінантів третього порядку. Очевидно, що це не кращий шлях. Застосуємо спосіб одержання в якому-небудь рядкові або стовпцеві нулів: якщо із другого рядка відняти перший, із третього – подвоєний перший, із четвертого – потроєний перший, то одержимо детермінант

,

рівний даному. Розкладемо його за елементами першого стовпця:

Тепер треба обчислити лише один детермінант третього порядку.

Якщо продовжити процес "одержання нулів" (наприклад, із другого рядка відняти перший), то

Приклад №3.

Не обчислюючи детермінанта, знайти член детермінанта, який утримує x²:

Розв'язання.

За означенням детермінанта це буде алгебраїчна сума наступних трьох елементів: 4x²-x²-12x²=-9x²

Приклад №4.

Розв'язати рівняння.

Розв'язання. За третьою властивістю детермінанта коренями даного рівняння будуть числа: x₁=2, x₂=3,..., x_n=n

Поиск по сайту: