Зв’язок між системою та моделлю. Ізо- та гомоморфізм

Основними відмінностями між моделлю та дійсністю є скінченість, спрощеність та наближеність моделі.

Світ, в якому ми живемо, є нескінченим так само, як і будь-який об'єкт є нескінченним не лише в просторі та часі, але й у своїх зв'яз­ках з іншими об'єктами. Однак наші людські ресурси є обмеженими, а також зовнішні ресурси, які ми можемо залучати до певного проце­су теоретичної чи практичної діяльності. Виникає суперечність: необ­хідно пізнавати нескінченний світ за допомогою скінченних засобів.

І якщо щодо абстрактних моделей, які наділяються скінченною кількістю властивостей, цієї проблеми не виникає, то реальні моде­лі — це деякі матеріальні об'єкти, які є безмежними так само, як і всі інші реальні об'єкти. І в цьому виявляється різниця між самим об'єктом, та таким самим об'єктом, що використовується в якості моделі іншого об'єкта, тому що з безмежної множини властивостей об'єкта-моделі обираються та використовуються лише деякі власти­вості, що подібні на ті властивості об'єкта-оригінала, які цікавлять дослідника. Модель подібна до об'єкта-оригіналу скінченою кіль­кістю відношень — що й є аспектом скінченості реальних моделей.

Не кожне поняття відображає дещо безпосередньо існуюче — абстракція може бути ієрархічною, тобто існують не лише моделі реальних об'єктів, але й «моделі моделей», і кількість таких рівнів обмежується лише практичною потребою.

Скінченість моделей з необхідністю приводить до спрощено­сті моделей порівняно з оригіналом, тому що включення чи невключення певних властивостей та відношень в модель залежить насамперед від мети моделювання. Спрощення є сильним засобом виявлення головних ефектів у явищі, що досліджується.

Окрім того, спрощення моделі пов'язане з необхідністю оперу­вання з нею. Якщо не вистачає обчислювальної потужності, щоб визначити оптимальний випуск продукції в багатогалузевій еконо­міці за допомогою моделі міжгалузевого балансу, ми зменшуємо розмірність задачі, об'єднуючи в моделі декілька галузей в одну; не­лінійні залежності лінеаризуємо, представляючи їх кусочно-ліній-ними; випадкові змінні — детермінованими (наприклад, значення­ми математичних сподівань) і т. ін.

Окрім того, в моделюванні, як і взагалі в науці, діє принцип леза Оккама — з двох моделей, що однаково добре описують явище, за­звичай простіша виявляється ближчою до дійсної природи явища, що вивчається. Простота є глибинною властивістю світу, що нас оточує, яку дуже точно висловив український філософ Григорій Савич Сковорода (1722—1792): «Слава тобі, Господи, що Ти створив все потрібне нетрудним, а все трудне — непотрібним». Древні схоласти теж відзначали, що простота — це печать істини.

Інший фактор, що дозволяє долати безмежність світу в скінченному пізнанні — це приблизність відображення світу за допомогою моделей. Скінченність та спрощеність моделей теж можна інтерпретувати, як при­близність, але приблизність, на відміну від спрощеності та скінченності, що відображають якісні відмінності між оригіналом та моделлю, відобра­жає такі відмінності, що дозволяють кількісне (більше-менше), чи хоча б якісне (краще-гірше) порівняння. Близькість моделі може бути знач­ною порівняно з оригіналом (наприклад, підроблення мистецьких тво­рів відомих майстрів пензля), або ж незначною, але модель — це, без­заперечно, завжди інший об'єкт, а тому різниця між ними завжди існує.

Якщо за допомогою моделі досягається попередньо визначена ціль, то вона є адекватною до об'єкта, що моделюється. Поняття адекватності (відповідності) не співпадає повністю з вимогами пов­ноти, точності та істинності — адекватність означає, що ці вимо­ги виконані не взагалі чи у відповідності до певної абсолютної міри, а лише в тій мірі, яка достатня для досягнення мети мо­делювання. Якщо вдається ввести та обгрунтувати деяку міру адек­ватності моделі, то це суттєво сприяє покращенню моделі, і може бути сформульована задача знаходження «найадекватнішої» моделі, або ж найпростішої, що забезпечить заданий рівень адекватності.

Моделі є заміщувачами оригіналу завдяки подібності до нього. Існує 3 види подібності:

пряма, що встановлюється шляхом фізичної взаємодії; непряма, що встановлюється через аналогію, тобто через спільну абстрактну модель; умовна, що встановлюється шляхом певних домовленостей.

Моделі прямої подібності — здебільшого це масштабовані або в оригінальний розмір виконані копії оригіналів.

Непряма подібність між моделлю та оригіналом встановлюється не в результаті їх фізичної взаємодії, а об'єктивно існує в природі і виявляється в співпадінні чи достатній близькості їх абстрактних моделей, і після цього використовується в практиці моделювання. Значення цих моделей є великим для практики моделювання.

Моделі умовної подібності зустрічаються на кожному кроці, оскільки вони є способом матеріального втілення абстрактних мо­делей, формою у вигляді речей, в якій абстрактні моделі можуть пе­редаватися від однієї особи до іншої, зберігатися до певного момен­ту їх використання, і зберігати можливість повернення до абстракт­ної форми. Ця властивість реалізується угодою про те, які стани ре­ального об'єкта ставляться у відповідність певному елементу абстра­ктної моделі, і угода існує у вигляді сукупності правил побудови мо­делі умовної подібності і правил їх використання.

Кожна модель в чомусь правильно відображає оригінал, а ступінь істинності перевіряється шляхом безпосереднього співставлення мо­делі та оригіналу. Окрім безумовно істинного, в моделі є ще й те, що правильне за певних умов, а також те, що не стосується оригіналу.

Зв'язок між системою, що моделюється, і нашими знаннями про неї та моделлю ілюструється нижче. З цієї метою спочатку дамо ви­значення ізо- та гомоморфізму стосовно процесу моделювання.

Ізоморфізм — це співвідношення між системами тотожної структури. Між: елементами та відношеннями ізоморфних сис­тем існує взаємно однозначне відображення — кожному елемен­ту та відношенню однієї системи відповідає один і тільки один елемент (та відношення) іншої та навпаки.

Система S_a відображається гомоморфно в систему S_b, якщо кож­ному елементу та кожному відношенню (зв'язку) між елементами S_a відповідає один і лише один елемент та відношення (зв'язок) систе­ми S_b, але обернене твердження неправильне. Отже, S_b є гомоморфним образом системи S_a, яка називається прообразом.

Для опису взаємозв'язків між системою та моделлю використаємо властивість відносності та конкретності стосовно системи. Система S₁ — це первісна система, модель якої необхідно створити. На ґрунті процесу пізнання системи S₁ шляхом спостережень та (або) проведення обмежених експериментів над нею та попереднього досвіду в свідомості формується образ системи S₁— система S₂, тобто сукупність знань про систему. Відо­браження системи S₂ в систему S₂ неповне і має характер гомоморфізму.

Гомоморфізм

Гомоморфізм Гомоморфізм

Ізоморфізм

Рис. 1. Взаємозв'язок між: системою, моделлю та дослідником

Оскільки знання про досліджувану систему S₂, сформоване в ре­зультаті її пізнання, неповне, деякі аспекти функціонування S_l неві­домі дослідникові, а тому й відображення її у свідомості (система S₂) гомоморфне. У процесі дослідження системи нас цікавить не вся су­ма знань про систему, а лише деякі її аспекти, тому уявлення про модель системи в свідомості (система S₃) — це результат гомоморф-ного відображення S₂ в S₃. Внаслідок цієї ж причини відображення системи S₁ в модель S₄ також носить гомоморфний характер. Уявлен­ня про модель S₃ ізоморфно відображається в S₄ — модель системи.

Моделювання — це ітераційний процес, під час якого уявлення про модель постійно поповнюються та корегуються — можливо, аж до зміни первинних уявлень. Відповідно до цього змінюється мо­дель. Подібність моделі до оригіналу завжди неповна, тобто модель лише приблизно відображає деякі властивості оригіналу. Внаслідок цього реальна система може мати різноманітні гомоморфні моделі, які між собою не будуть ізоморфними. Отже, поняття гомоморфіз­му дозволяє теоретично обгрунтувати процес моделювання та мно­жинність моделей системи.

Поиск по сайту: