АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц

Читайте также:
  1. I. Дайте англійські еквіваленти з наступних слів і словосполучень.
  2. I. Определения понятий. Классификация желтух.
  3. II. Вывод и анализ кинетических уравнений 0-, 1-, 2-ого порядков. Методы определения порядка реакции
  4. IV. КРИТЕРИИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОЦЕНОК
  5. V. Дайте характеристику кваліфікуючих, особливо кваліфікуючих ознак злочинів, передбачених ст.ст.185-187, 189-191 КК (заповніть таблицю)
  6. XXXIV. ОПРЕДЕЛЕНИЯ
  7. Алгоритм обоснования энергетической ценности и нутриентного состава рациона питания на основе определения физиологической потребности организма в энергии и пищевых веществах.
  8. АУТИЗМ: ОПРЕДЕЛЕНИЯ
  9. Аутизм: определения прошлые и настоящие
  10. Базисные определения теории систем
  11. Бухгалтерский учет продукции. Порядок определения результатов от реализации продукции (работ/услуг)
  12. В понятиях происходит объективация сознания в форме мысленного обнаружения и терминологического определения отдельных объектов и явлений действительности.

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожденная.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(ai,aj)=∑k=1nakiakj= δij

Пусть A - ортогональная матрица.

AT=A-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

ATA=E (по определению), A-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель ½A½=0. (по опр.) Соответственно квадратная матрица A, определитель которой ½A½¹0, называется невырожденной.

Пусть, например,

Прибавив к первой строке определителя

вторую, умноженную на -3, и третью, умноженную на 5, получим определитель с первой строкой ,который равен 0.

Т.к. при указанных преобразованиях величина определителя не изменилась, то . ч.т.д.


Определение ортогональной матрицы.

Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, что

A − 1 = AT,

здесь T — операция транспонирования.

Свойства

  • Множество ортогональных матриц порядка n над полем k образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается On (k) или (если k опускается то предполагается ).
  • Определитель ортогональной матрицы равен .
  • Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
  • Столбцы и строки ортогональной матрицы являются ортонормальными векторами, то есть если дана матрица (A) ij, то
aijaik = δ jk
i  

и

ajiaki = δ jk
i  

где и δ jk = 1 для j = k и δ jk = 0 для .

  • Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и


12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.

Главные применения матриц связаны м операцией умножения.

Даны две матрицы:

А – размера m n

B – размера n k

Т.к. длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В, можно определить матрицу С=АВ, которая будет иметь размеры m k. Элемент матрицы С, расположенный в произвольной i-й строке (i=1,…,m) и произвольном j-м столбце (j=1,…,k), по определению равен скалярному проиведению двух векторов из : i-й строк марицы А и j-го столбца матрицы В:

Свойства:

1. (АВ)С=А(ВС);

2. А(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)С=АС+ВС;

4. (АВ)=( А)В=А( В);

5. АЕ=А,ЕА=А.

Как определяется операция умножения матрицы А на число λ?

Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)