Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц

Матрица А порядка n*n называется невырожденной, если ее строки линейно независимы, в противном случае – вырожденная.

Теорема: квадратная матрица А невырождена тогда и только тогда, когда ее определитель |А| не равен нулю.

|А| = = -1 0 – невырожденная.

Квадратная матрица A называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов столбцов является ортонормированной.

(a_i,a_j)=∑_k=1ⁿa_kia_kj= δ_ij

Пусть A - ортогональная матрица.

A^T=A^-1 –необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A.

A^TA=E (по определению), A^-1A=E.

А т.к. обратная матрица существует, если А невырожденная, то ортогональная матрица является невырожденной.

Квадратная матрица A называется вырожденной, если ее определитель ½A½=0. (по опр.) Соответственно квадратная матрица A, определитель которой ½A½¹0, называется невырожденной.

Пусть, например,

Прибавив к первой строке определителя

вторую, умноженную на -3, и третью, умноженную на 5, получим определитель с первой строкой ,который равен 0.

Т.к. при указанных преобразованиях величина определителя не изменилась, то . ч.т.д.

Определение ортогональной матрицы.

Ортогональной называют такую квадратную матрицу A, что

A ^{− 1} = A^T,

здесь T — операция транспонирования.

Свойства

• Множество ортогональных матриц порядка n над полем k образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается O_n (k) или (если k опускается то предполагается ).
• Определитель ортогональной матрицы равен .
• Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Столбцы и строки ортогональной матрицы являются ортонормальными векторами, то есть если дана матрица (A) _ij, то

и

где и δ _jk = 1 для j = k и δ _jk = 0 для .

• Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и

12. Правило умножения матриц. Свойства умножения матриц.

Главные применения матриц связаны м операцией умножения.

Даны две матрицы:

А – размера m n

B – размера n k

Т.к. длина строки в матрице А совпадает с высотой столбца в матрице В, можно определить матрицу С=АВ, которая будет иметь размеры m k. Элемент матрицы С, расположенный в произвольной i-й строке (i=1,…,m) и произвольном j-м столбце (j=1,…,k), по определению равен скалярному проиведению двух векторов из : i-й строк марицы А и j-го столбца матрицы В:

Свойства:

1. (АВ)С=А(ВС);

2. А(В+С)=АВ+АС;

3. (А+В)С=АС+ВС;

4. (АВ)=( А)В=А( В);

5. АЕ=А,ЕА=А.

Как определяется операция умножения матрицы А на число λ?

Произведением А на число λ называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента А на λ. Следствие: Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.

Поиск по сайту: