Статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности, лежащее в основе так называемой «классической» теории вероятностей, вплоть до ХIX в. считалось универсальным. Задачи, к которым классическое определение было не применимо, сводились к нему с помощью искусственных приемов.

В настоящее время классическое определение вероятности рассматривают как метод непосредственного подсчета вероятностей для испытаний, сводящихся к схеме случаев, т.е. для испытаний, которые обладают равновозможностью исходов. Однако равновозможность исходов испытания является наиболее трудно достижимым условием в реальной действительности. Если условия симметричности нарушаются (например, монета сплющена, игральная кость имеет смещенный центр тяжести, карты расположены в определенном порядке и т.д.), то определить вероятность, пользуясь классическим определением, невозможно. Кроме того, существует огромный класс событий, которые в принципе нельзя свести к схеме случаев. К таким событиям относятся:

1) обнаружение бракованных изделий при контроле за работой оборудования в течение заданного промежутка времени;

2) попадание при выстреле и т.д.

Поэтому более удобным для приложений является статистическое определение вероятности, основанное на свойстве устойчивости относительных частот.

Введем понятие частоты события, которое является кардинально важным в теории вероятностей. Взяв в качестве основного понятия частоту события, можно построить все здание теории вероятностей. Именно такое построение теории вероятностей в начале ХХ в. было предложено Р. Мизесом. В настоящее время многие авторы предпочитают излагать теорию вероятностей на частотной основе.

Пусть проводятся испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие A.

Определение. Число появлений события в n независимых испытаниях называется частотой события .

Частота появления события обозначается буквой .

Определение. Относительной частотой или частостью события называется отношение частоты m к числу проведенных испытаний

.

Пример. При 10 бросаниях монеты герб появляется 3 раза. Найти частоту и относительную частоту появления герба.

Решение. По условию испытание, состоящее в подбрасывании монеты, производится 10 раз, т.е. . Интересующее нас событие , состоящее в появлении герба, наступает три раза, поэтому частота . По определению относительной частоты

.

Если с той же монетой провести новую серию, состоящую из 100 испытаний, то при появлении герба 53 раза относительная частота

.

При небольшом числе испытаний относительная частота носит случайный характер. Однако при большом частость теряет свой случайный характер изменения, стабилизируясь с незначительными отклонениями около некоторой постоянной величины. В этом состоит свойство устойчивости частот.

Проводя испытания с бросанием монеты, французский естествоиспытатель Бюффон и английский биолог Пирсон получили следующие результаты.

Из приведенных примеров следует, что относительные частоты

при увеличении числа проведенных экспериментов приближаются к числу , которое, согласно классическому определению, является вероятностью появления герба.

В общем случае, если проводить серии, состоящие из большого количества независимых испытаний, и в каждой серии отмечать число проведенных испытаний и соответствующие частоты наступления события , то мы увидим, что относительные частоты при возрастании будут приближаться к некоторому числу, которое принимается за статистическую вероятность события A.

Отметим, что приближение относительной частоты к вероятности при увеличении числа проведенных экспериментов отличается от «стремления к пределу» в математическом смысле.

Напомним, что с математической точки зрения, последовательность стремиться к числу , если для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство .

Для частости и вероятности такого числа указать невозможно. На практике относительная частота события при большом числе проведенных экспериментов может значительно отклониться от его вероятности, однако при увеличении числа испытаний такие отклонения становятся все более редкими. Таким образом, приходим к понятию сходимости по вероятности.

Определение. Говорят, что величина сходиться по вероятности к величине , если для любого вероятность неравенства с увеличением неограниченно приближается к единице

.

Такой способ приближения одних величин к другим часто встречается в теории вероятностей, лежит в основе большинства ее выводов и прогнозов.

Определение. Статистической вероятностью события называется величина, к которой по вероятности сходятся относительные частоты события при неограниченном увеличении числа проведенных случайных экспериментов

.

Все свойства, доказанные для классической вероятности, остаются верными и для статистической.

Отметим различия между статистическим и классическим определениями вероятностей:

1) статистическое определение вероятностей является величиной эмпирической, экспериментальной, а классическое определение вероятностей является величиной теоретической;

2) для определения вероятности события на основе классического определения вероятности достаточно описания опыта, а для вычисления частости события нужно также располагать определенным массивом статистических данных

Ниже (в п.3) мы рассмотрим аксиоматическое определение вероятности события.

Поиск по сайту: