Действия над событиями

Определение. Суммой двух событий и называется событие C, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий

.

Таким образом, суммой двух совместных событий и называется событие C, которое состоит в наступлении или события , или события , или событий и вместе.

Определение. Суммой событий называется событие C, которое состоит в наступлении хотя бы одного из этих событий

.

Продемонстрируем данное определение с геометрической точки зрения с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Пример 1. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .

Рис. 1.

Решение. Согласно определению, если события и совместны (рис.1), то событие состоит в попадании в круг , или в попадании в круг , или в попадании в круг и в круг , т.е. событие состоит в попадании в

заштрихованную область. Если события и несовместны, то с геометрической точки

Рис. 2.

зрения (рис.2) круги на диаграмме Эйлера-Венна не пересекаются. В этом случае сумма событий состоит в попадании в круг , или попадании в круг , т.е. только в один из рассматриваемых кругов.

Из рассмотренного примера вытекает следующее определение суммы несовместных событий.

Определение. Суммой несовместных событий называется событие C, которое состоит в наступлении одного из этих событий.

Пример 2. Найти событие, состоящее в том, что студент сдаст экзамен.

Решение. Введем обозначения:

событие A ₅ состоит в том, что студент получит оценку „5” на экзамене,

событие A ₄ состоит в том, что студент получит оценку „4” на экзамене,

событие A ₃ состоит в том, что студент получит оценку „3” на экзамене,

событие A ₂ состоит в том, что студент получит оценку „2” на экзамене,

Так как события A ₅, A ₄, A ₃ несовместны, то событие C,состоящее в том, что студент сдал экзамен, означает, что студент на экзамене получит только одну из оценок „5” или „4”, или „3”, т.е.

.

Определение. Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в совместном наступлении этих событий

.

Таким образом, произведением двух событий и является событие , которое состоит в наступлении и события , и события .

Определение. Произведением событий называется событие , состоящее в совместном наступлении этих событий

.

Рассмотрим произведение событий с геометрической точки зрения.

Пример 3. Пусть событие состоит в попадании в круг , событие состоит в попадании в круг . Требуется определить событие .

Рис. 3.

Решение. Согласно определению, для совместных событий и (рис.3) произведение этих событий состоит в попадании и в круг , и в круг , т.е. событие состоит в попадании в заштрихованную область.

Если события и несовместны, то с геометрической точки зрения (рис.4),

Рис. 4.

круги на диаграмме Эйлера-Венна не имеют ни одной общей точки, а поэтому невозможно одновременно попасть и в круг , и в круг . В этом случае произведение событий является невозможным событием .

Этот вывод остается верным и в общем случае, если события A и B несовместны, то их совместное наступление невозможно, т.е. произведение

.

Пример. Найти событие, состоящее в том, что студент сдал сессию, включающую в себя три экзамена.

Решение. Введем обозначения:

событие состоит в том, что студент сдал первый экзамен,

событие состоит в том, что студент сдал второй экзамен,

событие состоит в том, что студент сдал третий экзамен,

Тогда событие , состоящее в том, что студент сдал сессию, означает, что студент сдал и первый экзамен, и второй экзамен, и третий экзамен, т.е.

.

Операции действий над событиями обладают следующими свойствами:

1. Законы коммутативности	5. Законы де Моргана .
2. Законы ассоциативности	6. Законы поглощения .
3. Законы дистрибутивности	7. Законы склеивания
4. Законы идемпотентности .	8. Законы, в которые входят достоверное событие и невозможное событие ; ; = .

Вопросы и задания для самопроверки

1. Как вводится понятие случайного эксперимента?

2. Что называется испытанием? Что называется событием? Приведите примеры испытаний и событий.

3. Какие бывают события?

4. Сформулируйте определение достоверного события. Приведите примеры.

5. Сформулируйте определение невозможного события. Приведите примеры.

6. Сформулируйте определение случайного события. Приведите примеры.

7. Приведите классификацию случайных событий.

8. Какие события называются совместными, несовместными?

Приведите примеры.

9. Какие события называются единственно возможными?

Приведите примеры.

10. Какие события образуют полную группу?

11. Какие события называются противоположными? Приведите примеры.

12. Какие события называются равновероятными или равновозможными?

Приведите примеры.

13. Какое событие называется благоприятствующим событию ? Приведите

примеры.

14. Какие события называются эквивалентными или равносильными?

15. Сформулируйте классическое определение вероятности.

16. Сформулируйте и докажите свойства вероятности.

17. Что называется частотой, относительной частотой события ?

18. Сформулируйте статистическое определение вероятности.

19. Что называется суммой событий? Приведите примеры.

20. Что называется произведением событий? Приведите примеры.

Поиск по сайту: