Площа криволінійної трапеції

Визначений інтеграл (в.і.)

2.1. Задачі, які приводять до поняття визначеного інтеграла

Площа криволінійної трапеції.

Означення. Криволінійною трапецією називають фігуру, обмежену графіком функції y=f(x), прямими х=а, х=в, і віссю ОХ.

Задача. Знайти площу криволінійної трапеції, якщо f(x)³0 є неперервною функцією.

Рис.1

Розв’язання. Розіб’ємо основу [a, b] криволінійної трапеції на n, необов’язково рівних, частин точками (див. Рис: 1)

а = х₀ < x₁ < x₂ <...<x_i-1< x_i<...<x_n-1<x_n =b

В точках поділу х_і (і=1,2,3,...,n) проведемо прямі перпендикулярні вісі ОХ до перетину з графіком, отримаємо n елементарних криволінійних трапецій. Площу кожної з них знайдемо наближено, замінивши її площею прямокутника з тією ж самою основою і висотою обчисленою в деякій внутрішній точці основи. Так в загальному усерединє розбиття [х_і-1, х_і] вибираємо довільну точку

c_і(х_і-1£c_і£х_і) і обчислимо f(c_i) – це буде висота і-того прямокутника. Позначивши через Dх_і = х_і – х_і-1 основу і-го елементарного прямокутника, знайдемо його площу

DS_i = f(c_i)Dx_i (i = 1,2,...,n).

Тоді сума площ отриманих елементарних прямокутників буде

S_n = DS₁ + DS₂ +...+ DS_i +...+ DS_n. (2.1)

Праву частину рівності (1) коротко позначають

.

Отже,

Сума вигляду (2.2) називається інтегральною сумою.

Позначимо Якщо l®0, то це означає, що всі Dх_і®0, а їх кількість n®¥. Перейдемо в (2) до границі, коли l®0 і за умови існування цієї границі, позначимо її

Означення. Границя (2.3), якщо вона існує і не залежить ні від способу розбиття відрізка [а, b] на частини, ні від вибору точок

c_і (х_і-1 £ c_і £ х_і), називається площею криволінійної трапеції.

2. Робота змінної сили. Нехай змінна сила діє вздовж відрізка [а, b], величина сили в точці х дорівнює f(x).

Задача. Знайти величину роботи, при переміщенні точки вздовж відрізка [а, b] під дією змінної сили y = f(x), направленої вздовж вісі ОХ.

Розв’язання. Розіб’ємо відрізок [а, b] точками на n елементарних частин [х_і-1, х_і] (і = 1,2,...,n) настільки малих, що на кожному з них силу можна наближено вважати сталою і по величині рівною f(c_i), де c_i (x_i-1£c_i£x_i) – довільна точка цього відрізка. Відомо, що величина роботи на цьому відрізку дорівнює

DА_і » f(c_i)Dx_i,

а значення роботи на всьому відрізку буде

3. Маса прямолінійного неоднорідного стержня. Спочатку опишемо модель неоднорідною стержня. Припустимо, що на площині у вигляді заданої криволінійної трапеції (у = j(х), х = а, х = b, y = 0) розміщена поролонова пластина просочена клеєм. Товщина пластини невелика і нею можна знехтувати. Спресуємо, геометрично-спроектуємо, цю пластину на вісь ОХ (див. рисунок). Після

висихання клею отримаємо неоднорідний стержень, бо маса вздовж нього розподілена нерівномірно.

Введемо поняття густини розподілу маси вздовж стержня [a, b]. Нехай відрізок стержня довжини Dх охоплює точку c, має масу Dm, тоді середня густина маси вздовж відрізка Dх. Нехай Dх®0, стягуючись в точку c.

Означення. Якщо існує границя

причому Dх®0, стягуючись в точку c, то цю границю назвемо значенням густини в точці c, а функція y = f(x) називається функцією розподілу маси.

Зауважимо, що коли в даній моделі у = j(х) –рівняння кривої, яка обмежує криволінійну трапецію, то густина розподілу маси буде

y = f(x) = k×j(x)

де k – коефіцієнт пропорційності, який практично можна знайти, і функція y = f(x), таким чином, нам відома.

Задача. Знайти масу прямолінійного неоднорідного стержня, розміщеного на відрізку [a, b], якщо на ньому задана функція розподілу густини маси y = f(x).

Розв’язання. Як і раніше, розбиваємо відрізок [a, b] точками на n елементарних відрізків [х_і-1, х_і] (і = 1,2,3,...,n) настільки малих, що кожний з них наближено можна вважати однорідним із сталою густиною f(c_i), де c_і (х_і-1£c_і£х_і) – довільна точка цього відрізка, тоді величина маси

Dm_і » f(c_і)×Dх_і.

Маса всього стержня

Поиск по сайту: