Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции ,

y

B

A

O а b x

ограниченной сверху графиком непрерывной функции , слева и справа – прямыми и , снизу – осью , вычисляется по формуле:

.

Если функция задана уравнениями в параметрическом виде:

,

то площадь соответствующей фигуры вычисляется как:

.

Площадь криволинейного сектора ,

В

А

О

при условии, что кривая задана в полярной системе координат уравнением , вычисляется по формуле:

.

Если криволинейная трапеция ограничена сверху графиком функции , снизу – графиком функции , слева и справа – прямыми и , то ее площадь вычисляется по формуле:

.

В общем случае криволинейную фигуру разбивают на части, площади которых вычисляются по формулам, рассмотренным выше.

Интересной иллюстрацией возможностей применения интегралов для анализа социально-экономического состояния общества является так называемая диаграмма или кривая Лоренца распределения доходов населения:

1 A

В

С

0 1

Здесь кривая ОВА с уравнением и представляет собой кривую Лоренца, где - доля населения, - соответствующая ей доля дохода. Если распределение доходов в обществе было бы равномерным, то кривая Лоренца имела бы вид прямой ОА. Поэтому в качестве степени неравенства в распределении доходов населения берут отношение площади криволинейного треугольник ОАВ к площади треугольника ОАС. Этот параметр называется коэффициентом Джини:

.

№ 41. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение. Найдем абсциссы точек пересечения этих линий. Для этого решим систему уравнений:

Получим , . Построим фигуру:

y

S

4

-2 -1 1 2 x

Тогда:

Ответ: 13,5 кв. ед.

№ 42. Вычислить площадь фигуры ограниченной первой аркой циклоиды , и осью .

Решение. Определим пределы интегрирования по переменной из уравнения , или , откуда , .

Построим фигуру:

Тогда:

(кв. ед.).

Ответ:12 кв.ед.

№ 43. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение. Построим график этой линии:

1

0 1

Тогда:

(кв. ед.)

Ответ: кв. ед.

№ 44 – 49. Вычислить площади фигур, ограниченных указанными линиями.

№ 44. , .

№ 45. , .

№ 46. , .

№ 47. , , , .

№ 48. .

№ 49. , , .

№ 50. По данным исследований в распределении доходов четырех стран кривая Лоренца может быть соответственно описана уравнениями: , , , . Вычислите коэффициенты Джини и проанализируйте результаты.

Поиск по сайту: