ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

Определенный интеграл от заданной функции вычисляется точно далеко не всегда, например, можно вспомнить о “неберущихся” интегралах. Поэтому для его вычисления можно применить приближенные (численные методы), основанные на приближенном представлении определенного интеграла через интегральную сумму в виде:

Чтобы найти приближенное значение интеграла необходимо:

1. Разбить отрезок интегрирования на равных отрезков точками , длины которых равны .

2. Вычислить значения подынтегральной функции в точках :

, ;

3. Воспользоваться, например, одной из следующих формул:

а) – формула правых прямоугольников,

б) – формула левых прямоугольников,

в) – формула трапеций,

г) – формула Симпсона или формула парабол, где .

№ 65. Найти: 1) Точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. 2) Приближенное значение интеграла по формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей и производя округления до четвертого десятичного знака. 3) Относительную погрешность в процентах.

№ 65. .

Решение.

1)

2) Вычислим и значения функции в промежуточных точках:

Тогда, применение формулы правых прямоугольников дает результат:

,

с относительной погрешностью:

;

применение формулы левых прямоугольников дает результат:

,

с относительной погрешностью:

;

применение формулы трапеций дает результат:

,

с относительной погрешностью:

;

применение формулы Симпсона дает результат:

,

что при округлении до четвертого десятичного знака дает точный результат.

Сравнение относительных погрешностей свидетельствует о том, что наиболее точный результат получается при применении метода парабол; а наихудший – при применении метода прямоугольников; что согласуется с теоретической оценкой точности этих методов.

№ 66 - 67. Найти: 1) Точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница. 2) Приближенное значение интеграла по формулам прямоугольников, трапеций и парабол, разбивая отрезок интегрирования на 10 частей и производя округления до четвертого десятичного знака. 3) Относительную погрешность в процентах.

№ 66. . № 67. .

№ 68 – 69. Вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона при .

№ 68. . № 69. .

ГЛАВА VI

К Р А Т Н Ы Е И Н Т Е Г Р А Л Ы

Поиск по сайту: