ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

Рассмотрим функцию , определенную в замкнутой пространственной области . Разобьем область на элементарных областей , объемы которых обозначим теми же символами, а наибольший из диаметров элементарных областей обозначим через . В каждой элементарной области выберем произвольную точку и вычислим значения функции в этих точках.

Интегральной суммой для функции по области называется сумма произведений вида:

.

Тройным интегралом от функции по области называется предел соответствующей интегральной суммы при , при условии, что этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области на элементарные области , ни от выбора точек в них:

.

Тройной интеграл допускает следующую физическую интерпретацию:

–

масса объемного тела , в котором распределено вещество с объемной плотностью . При получаем следующую геометрическую интерпретацию тройного интеграла

–

объему соответствующего тела.

По аналогии с двойными интегралами для вычисления тройного интеграла введем понятие стандартной области. Предположим, что область является стандартной в направлении оси , то есть удовлетворяющей следующим условиям: а) любая прямая, параллельная данной оси и имеющая с данной областью общие точки, пересекает границу области только в двух точках; б) проекция области на плоскость представляет собой стандартную область в направлении оси или оси .

Если стандартная область ограничена сверху поверхностью , а снизу – поверхностью . то соответствующий тройной интеграл можно вычислить как “повторный”:

,

или как, например,

,

если область стандартна в направлении оси .

№ 33. Вычислить , если область ограничена плоскостями

Решение. Учитывая, что область является стандартной в направлении любой оси координат, выразим тройной интеграл через повторный:

Ответ:

№ 34 –35. расставить пределы интегрирования в тройном интеграле для указанных областей :

№ 34. Область - внутренность эллипсоида

№ 35. Область ограничена поверхностями

№ 36 – 37. Вычислить следующие повторные интегралы:

№ 36. № 37.

№ 38 –39. Вычислить тройные интегралы:

№ 38. , где - тетраэдр, ограниченный плоскостями

№ 39. , где область ограничена поверхностями

№ 40 – 41. Определить объем тела, ограниченного поверхностями:

№ 40.

№ 41.

№ 42. Определить массу пирамиды, образованной плоскостями если плотность в каждой ее точке равна аппликате этой точки.

№ 43. Определить массу тела, ограниченного поверхностями (при ), если плотность в каждой его точке равна ординате этой точки.

Тройной интеграл можно вычислить и с помощью замены переменных аналогично двойному интегралу:

.

Выразим, например, тройной интеграл в цилиндрических координатах :

,

где

.

№ 44. Вычислить тройной интеграл , где область задана неравенствами .

Решение. Так как при переходе к цилиндрическим координатам проекция области на плоскость принимает вид , , то

Ответ:

№ 45 – 48. Вычислить интеграл, перейдя к цилиндрическим координатам.

№ 45. .

№ 46.

№ 47. , где область ограничена следующими поверхностями: .

№ 48. , где область ограничена следующими поверхностями: .

Если перейти к сферическим координатам по формулам:

,

то тройной интеграл можно вычислить как

.

№ 49. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл , если область есть полушар .

Решение. В сферических координатах для области получим следующие пределы интегрирования . Тогда

.

Ответ: .

№ 50 – 53. Вычислить интеграл, перейдя к сферическим координатам:

№ 50. .

№ 51. .

№ 52. , если область ограничена поверхностями: .

№ 53. , если область - внутренность шарового сектора с центром в начале координат, радиусом , и углом при вершине .

Поиск по сайту: