Означення визначеного інтеграла

Ми бачили в наведених задачах, що в залежності від конкретного змісту заданої на [a, b] функції y = f(x), ми знаходимо ту чи іншу конкретну величину (площу, роботу, масу), але при цьому математичне співвідношення (2.3), (2.4), (2.5) залишається формально однаковим. Отже, не надаючи функції конкретного змісту, введемо означення визначеного інтеграла.

Нехай на відрізку [a, b] задана функція y = f(x). Розіб’ємо відрізок [a, b] на n частин точками

х₀ = а < x₁<x₂<...<x_i-1<x_i<...<x_n = b,

Dx_i = x_i – x_i-1 (i = 1,2,...,n) – довжина елементарного відрізка. На кожному з відрізків [х_і-1, х_і] вибираємо довільну точку

c_і (х_і-1£c_і£х_і) і обчислимо f(c_i). Сума

називається інтегральною сумою. Позначимо

Означення. Границя інтегральної суми для функції f(x) при l®0 за умови, що ця границя існує і не залежить від способу розбиття відрізка [a, b] на частини та способу вибору довільних точок , називається визначеним інтегралом від даної функції f(x) по даному відрізку [a, b] і позначається

Враховуючи (2.3), (2.4), (2.5) маємо

площу криволінійної трапеції, це геометричне тлумачення в.і.;

робота змінної сили f(x), – механічне тлумачення;

маса стержня, f(x) – густина, фізичне тлумачення.

Функцію , для якої вказана границя (2.6) існує, називається інтегровною.

Властивості визначеного інтеграла

при одних і тих же межах інтегрування і заданій функції в.і. не залежить від позначення змінної.

властивість однорідності в.і.

властивість адитивності відносно функцій.

Наслідок.

a,b – const, – властивість лінійності в.і.

7.Властивість адитивності в.і. відносно проміжків інтегрування:

при довільному разміщенні точок a, b, c.

Геометрично. Якщо y = f(x)³0, a<c<b, то S_{[a, b]} = S_{[a, c]} + S_{[c, b]} (див. рис.)

рис.

S_{[a, b]} – площа криволінійної трапеції дорівнює сумі площ її частин.

8.Інтегрування нерівностей: Якщо

Геометрично. Якщо 0£f(x)£j(x), i a<b,то між площами криволінійних трапецій зберігаються відповідні нерівності (див. рис.): S(f) £ S(j).

9. Теорема про оцінку в.і. Якщо m i M відповідно найменше і найбільше значення функції f(x) на проміжку [a, b], тобто m£f(x)£M, то виконується нерівність

Геометрично. Якщо f(x)³0 i a<b, то площа криволінійної трапеції S не менше площі прямокутника з висотою m і не перевищує площі прямокутника з висотою M (див. рис.).

Поиск по сайту: