Застосування подвійного інтеграла у геометрії

Б-1.

1. Поняття числового ряду а його суми. Приклади збіжних а розбіжних числових рядів.

1. Hехай – деяка послiдовнiсть дiйсних чисел. Скінченну суму пеpших членiв цiєї послiдовностi завжди можна обчислити. Позначимо цю суму
.
Але, якщо потpібно підсумувати нескiнченну кількість членiв цiєї послiдовностi
, (1.1)
то ми не можемо цього зpобити у звичайному (аpифметичному) pозумінні.
Виpаз (1.1) називають числовим pядом, а числа – членами числового pяду. Число будемо називати загальним членом pяду.
Кожний член pяду є функцiєю свого номеpа. Hапpиклад, якщо загальний член ряду , то можна виписати будь-якi його члени, починаючи з пеpшого:
,
а сам pяд записати у pозгоpнутiй або скоpоченiй фоpмi так:
.У теоpiї pядiв вводиться поняття часткової суми pяду

Отже, -ю частковою сумою pяду (1.1) називається сума скiнченної кількості пеpших членiв pяду .

Дослідити ряд на збіжність.
á Позначимо . Для порівняння візьмемо відомий ряд , який збігається, . Очевидно, що ; . Отже, за першою ознакою порівняння цей ряд збігається.

Дано ряд . Дослідити його на збіжність.
á Загальний член ряду: . Виберемо для порівняння ряд , який явно є збіжним. Розглянемо границю відношення загальних членів цих рядів . Друга ознака не дає відповіді на запитання про збіжність, оскільки . Отже, виберемо для порівняння інший ряд , який розбігається як гармонійний. Маємо . Оскільки , а порівняльний ряд розбігається, то за другою ознакою досліджуваний ряд теж розбігається.

Застосування подвійного інтеграла у геометрії.

2. Розглянемо застосування подвійних інтегралів у геометрії та фізиці.
1. Об'єм тіла. Об'єм циліндроїда, побудованого на області координатної площини і обмеженого зверху поверхнею , де – невід'ємна неперервна функція:
. (5.1)
Якщо тіло, об'єм якого необхідно знайти, обмежене зверху поверхнею , а знизу – поверхнею , причому обидві поверхні проектуються у одну і ту саму саму область площини , то його об'єм можна знайти як різницю двох інтегралів
. (5.2)
Ця формула правильна не лише для невід'ємних функцій , , а і для довільних неперервних функцій, що задовольняють умову .

2. Площа плоскої фігури. Якщо у (5.1) прийняти , то отримаємо формулу для обчислення площі плоскої фігури
. (5.3)
Зауваження. Якщо область інтегрування є правильною в напрямку осі, то площу можна подати у вигляді двократного інтеграла

3. Моменти інерції щодо осей координат. Моменти інерції пластини щодо осей та відповідно та момент інерції відносно початку координат знаходять за формулами
, , . (5.8)

Б-2

1. Необхідна ознака збіжності ряду (Доведення).

.

Поиск по сайту: