Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Метод Бернуллі

2. Диференціальні рівняння першого порядку в загальному вигляді можна записати: F (x, y, y ) 0. (1)

Якщо рівняння (1) можна розв’язати відносно похідної, тобто знайти у'

y  f (x, y), (2) то отримане рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку, розв’язаним відносно похідної.

Його можна записати у вигляді

dy  f (x, y) dx.

Розв’язком диференціального рівняння (інтегралом) називається функція у = (х), яка при підстановці у це рівняння замість шуканої функції перетворює його на тотожність.

Розрізняють загальний та частинний розв’язок.

Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку

називається функція виду y  x, C , яка має першу похідну і при підстановці у дане рівняння перетворює його у правильну рівність.

Частинним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається розв’язок, який отримуємо із загального при конкретному значенні С.

Диференціальне рівняння вигляду:

, n≠1, 0. називається диференціальним рівнянням Бернуллі.

Метод розв'язку: 1. Поділимо ліву і праву частини на

2. Зробимо заміну

3. Розв'язуємо диференціальне рівняння

Його можна розв'язати за допомогою інтегровного множника

Білет №5

1. Розклад функції в ряд Тейлора.

2. Лінійні диференціальні рівняння 1-го порядку. Метод варіації довільної сталої Лагранжа.

Метод Лагранжа (варіації довільної сталої).

Розв¢язок шукаємо у вигляді

. (2.70)

Підставивши (2.70) в (2.62), отримаємо

.

Звідки , . Остаточно маємо

(2.71)

– загальний розв’язок диференціального рівняння (2.62), який записаний через дві квадратури. Довільна стала входить завжди в загальний розв’язок лінійно.

Білет №6

1. Розклад основних елементів функції в ряд Тейлора.

2. Рівняння у повних диференціалах. Критерії.

Якщо ліва частина диференціального рівняння

є повним диференціалом деякої функції , тобто

,

і, таким чином, рівняння приймає вигляд то рівняння називається рівнянням в повних диференціалах. Звідси вираз

є загальним інтегралом диференціального рівняння.

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних ди­ференціалах, тобто необхідною та достатньою умовою, є виконання рівності

Нехай маємо рівняння в повних диференціалах. Тоді

Звідси де - невідома функція. Для її визначення продиференціюємо співвідношення по і прирівняємо

Звідси

.

Остаточно, загальний інтеграл має вигляд

Білет №7

1. Поняття про ряд Фурє та його застосування.

Ряди Фур’є – один з небагатьох розділів класичного курсу вищої математики, що безпосередньо широко використовується на практиці. Як правило, різноманітні сигнали (акустичні, електричні, оптичні, гідравлічні та ін.) є функціями часу. При цьому один вид сигналу можна перетворювати на інший, в зв’язку з чим найчастіше розглядають електромагнітні чи акустичні сигнали, які за своєю природою мають властивість розповсюджуватися у просторі або вздовж направляючих систем. У радіотехніці та техніці зв’язку загального визнання набув спектральний опис фізичних явищ та сигналів, що пояснюється прямим зв’язком, який існує між спектральним розкладом та роботою реальних коливальних систем.

2. Рівняння які зводяться до рівнянь у повних диференціалах. Інтегрувальний множник.

В багатьох випадках диференціальне рівняння можна домножити на функцію , після чого воно буде диференціальне рівняння в повних диференціалах. Функція називається інтегрувальним множником, а

- відповідним йому інтегралом диференціального рівняння, тобто .

Теорема 2.4. Для того,щоб диференційне рівняння було в повних диференціалах необхідно і достатньо,щоб виконувалася рівність

Теорема 2.5 (про існування інтегрального множника) Якщо диференціальне рівняння має загальний інтеграл , де - інтеграл диференціального рівняння в заданій області, який має часткові похідні другого порядку, то це рівняння має інтегрувальний множник.

Теорема 2.6 (про неєдиність інтегрувального множника).

Якщо інтегрувальний множник диференціального рівняння, а відповідний йому інтеграл, то де - неперервно диференційована функція не рівна тотожньо нулю, також являється інтегрувальним множником диференціального рівняння.

Теорема 2.7. (про загальний вигляд інтегрувального множника)

Два будь-яких інтегрувальних множника диференціального рівняння зв’язані співвідношенням

Білет №8

1. Означення та область визначення функції двох змінних. Графіки основних функцій двох змінних.

2. Однорідні диференціальні рівняння 1-го порядку та диференціальні рівняння які зводяться до однорідних.

Диференціальне рівняння вигляду

(2.62)

називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

При воно називається однорідним

(2.63)

так як його ліва частина лінійна і однорідна відносно і . Рівняння (2.62) при називається неоднорідним. Диференціальне рівняння (2.63) інтегрується в квадратурах, так як воно являється диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними

.

Звідки

. (2.64)

Якщо то

. (2.65)

Теорема 2. 3. (про структуру загального розв¢язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння) Якщо – частинний розв¢язок неоднорідного диференціального рівняння (2.62), а (2.64) – загальний розв¢язок лінійного однорідного диференціального рівняння (2.63), то сума

(2.68)

є загальним розв¢язком лінійного неоднорідного диференціального рівняння (2.62).

Б-9

1. Границя функції двох змінних. Означення та основні властивості.

Означення. Число А називається границею функції при , , якщо для будь-якого існує число таке, що при виконанні нерівності виконується нерівність і позначається або .

Зауваження. Для функції багатьох змінних справедливі теореми про границю суми,
добутку та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї незалежної змінної.

Наведемо формулювання відповідних теорем.

Теорема 1. Якщо функція має границю при , то вона єдина.

Теорема 2. Якщо функція має границю при , то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 3. Якщо , і в деякому околі точки виконується нерівність , то .

Теорема 4. Нехай , . Тоді:

1) ;

2) ;

3) .

2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. Випадок різних коренів характеристичного рівняння.

Корені характеристичного рівняння дійсні і різні.

Тоді дійсних частинних розв'язків знайдемо згідно формули

Ці розв'язки являються лінійно незалежними. Дійсно

так як останній визначник є визначник Вандермонда, який не дорівнює нулю, коли всі числа - різні.

В цьому випадку загальний розв'язок має вигляд

(5.31)

в області (5.32)

де – довільні сталі.

Б-10

1. Означення частинної похідної. Приклади знаходження за означенням частинних похідних від найпростіших функцій.

Означення. Нехай задано функцію z=f(x,y) і нехай деяку точку з області визначення цієї функції (x,y). Якщо аргумент x отримує приріст dx, а аргумент y – приріст dy, то вираз dz=f(x+dx,y+dy)-f(x,y) називають повним приростом функції f(x,y).

Означення. Функція f(x,y) називається неперервною у точці (x0,y0), якщо

.

Попередні означення легко переносяться із випадку двох змінних на випадок функції від n (n>2) змінних.

Означення. Величини dxz=f(x+dx,y)-f(x,y) та dyz=f(x,y+dy)-f(x,y) називаються частинними приростами функції f(x,y).

Означення. Частинною (частковою) похідною від функції f(x,y) за аргументом x називається границя

(6.1)

Частинну (часткова) похідну від функції f(x,y) за аргументом y визначаєють аналогічно.

Для частинних похідних від функції f(x,y) використовують такі позначення:

f¢x(x,y); z¢x; ;

f¢y(x,y); z¢y; .

Частинні похідні та задають напрями дотичних до поверхні z = f(x,y).

Варто пригадати, що звичайна похідна f¢(x) = задає напрям дотичної до кривої y = f(x).

2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. Випадок кратних коренів характеристичного рівняння.

Випадок наявності кратних коренів характеристичного рівняння. Припустимо, що -кратний корінь характеристичного рівняння (5.30), так що , але (5.33)

Щоб знайти розв’язки, які відповідають характеристичному числу , продиференціюємо тотожність (5.34)

раз ро , використовуючи при цьому формулу

Для знаходження похідної від добутку функції використовуємо формулу Лейбніца.

Де .

Маємо

Використовуючи (5.33) запишемо

тобто функції (5.35) являються розв’язками Д.Р. (5.27). Ці функції лінійно незалежні на .

Таким чином дійсному кореню кратності відповідає дійсних лінійно незалежних розв’язків виду (5.35)

Якщо характеристичне рівняння має комплексні корені кратності , то лінійно незалежних розв’язків будуть мати вигляд

(5.36)

Розв’язки (5.36) лінійно незалежні на інтервалі

Б-11

1. Лінійні однорідні диференціальні рівняння вищих порядків зі сталими коефіцієнтами. Випадок комплексних коренів характеристичного рівняння.

Теорема 13. Якщо функція диференційовна в точці , тоді існують границі та і вони дорівнюють відповідно А і В.

Означення. Нехай функція визначена в точці і в її деякому околі. Якщо існує границя , то вона називається частинною похідною за х (за у) функції у точці і позначається , або , або . Таким чином, , . Із означення частинних похідних матимемо, що вони шукаються за тими правилами, що й похідні функції однієї змінної. Треба лише памятати, що при знаходженні у вважається сталою, а при знаходженні змінна х вважається сталою.

Тепер можна сформулювати теорему 13 інакше:

Теорема 14 (необхідна умова диференційовності функції у точці).

Якщо функція диференційовна в точці , то в цій точці існують частинні похідні і .

Б 12

Поиск по сайту: