Теорема про середнє значення в.і

Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a, b], то існує така точка

с є [a, b], що

Геометрично. Для неперервної на проміжку [a, b] функції f(x)³0 можна знайти таку точку с є [a, b], що криволінійна трапеція буде рівновеликою з прямокутником, висота якого f(с), а основа їх спільна (див. рис.)

рис.

11. Теорема про похідну визначеного інтеграла із змінною верхньою межею. Якщо функція y = f(x), x є [a, b], неперервна, то

Формула Ньютона–Лейбніца

Якщо F(x) –первісна для неперервної на [a, b] функції f(x), то

.

1. Користуючись формулою Ньютона-Лейбніца

обчислити такі інтеграли, що зводяться до табличних (Посилання на формулу Ньютона-Лейбніца позначатимемо Н-Л).

Приклади. За допомогою формули Ньютона-Лейбніца обчислити інтеграли.

14. Довести, що для цілих і :

Відповіді: 1. 255. 2. . 3. . 4. . 5. .

13. 0.

Приклади на властивості визначення інтегралів

1. Виходячи з властивостей інтегрування нерівностей, встановити, який із інтегралів більший:

а) , , .

б) , .

в) , .

2. За теоремою про оцінку оцінити інтеграли.

а) . б) . в) .

3. За формулою знайти середнє значення функції на відрізку .

а) на відрізку .

б) на відрізку .

в) на відрізку .

4. Знайти похідні від вінтегралів:

а) . б) . в) .

5. Знайти границі:

а) . б)

Відповіді: а) відповідь повинна бути зрозуміла із графічного зображення

б) Перший. в) Перший. 2. . б) . в) .

3.

а) . б) . в) . 4. а) . б) . в) .

5. а) . б) .

 

Методи обчислення визначених інтегралів

 

Теорема (про заміну змінних). Має місце рівність:

,

де функція j(t) неперервно диференційовна на [a, b],

a = j(a), b=j(b) i f(x) неперервна на [a, b] = j([a, b]) – образі відрізка [a, b] при допомозі функції j.

Теорема (інтегрування частинами). Справедлива рівність:

де y = U(x) i y = V(x) неперервно диференційовні на [a, b] функції.

Приклади. Обчислити інтеграли заміною зміної.

1. .	2. .	3. .
4. .	5. .	6. .
7. .	8. .	9. .
10. .	11. .	12. .

Відповіді: 1. . 2. . 3. 4. . 5. .

6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. .

 

Обчислити інтеграли, користуючись формулою інтегрування частинами.

1. .	2. .	3.
4.	5.	6.
7.	8.	9.

Відповіді: 1. . 2. . 3. .

4. . 5. . 6. . 7. .

8. . 9. .

1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:

---