Распределение Максвелла - распределение молекул идеального газа по скоростям

Молекулы идеального газа движутся хаотически, непрерывно изменяя направление движения из-за соударений между собой и соударений со стенками сосудов. Причем направление движения молекул являются равноправными, то есть в любом направлении движется одинаковое число молекул. А средняя квадратичная скорость молекул в газе, находящемся в состоянии равновесия при T=const, остаётся постоянной и равной <vкв>= 0, где m0 - масса молекулы газа, k=1,38 ·10-23 Дж/К. Это объясняется тем, что в газе, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям. Этот закон теоретически выведен Дж. Максвеллом. Максвелл предполагал, что газ состоит из очень большого числа N тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температуре. Закон Максвелла описывается некоторой функцией f (v), называемой функцией распределения молекул по скоростям. Если разбить диапазон скоростей молекул на малые интервалы, равные dv, то на каждый интервал скорости будет приходиться некоторое число молекул dN(v), имеющих скорость, заключённую в этом интервале. Функция f (v) определяет относительное число молекул dN (v), скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, т.е

(1)

откуда

(2)

Применяя методы теории вероятности, Максвелл нашёл функцию F (v) – закон для распределения молекул идеального газа по скоростям:

(3)

Рисунок 2 Функция распределения Максвелла

Из (3) видно, что конкретный вид функции зависит от рода газа (от массы молекулы) и от параметра состояния (от температуры Т).

Рисунок 2 Функция распределения Максвелла при различных Т

График функции распределения приведён на рисунке 2. Относительное число молекул dN (v), скорости которых лежат в интервале от v до v + dv, находится как площадь заштрихованной на рисунке 2 полоски. Из приведённого графика следует, что функция распределения стремится к нулю при v 0 и v и проходит через максимум при некоторой скорости v_в, называемой наиболее вероятной скоростью, причём этой скоростью и близкой к ней обладает наибольшее число молекул. Кривая несимметрична относительно vв.

Значение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (3) по аргументу v и приравняв результат нулю, используя условие для максимума выражения f(v):

(4)

v v_в = ₀ (5)

или

v_в = ₀ = (5а).

Где - R=8,31 Дж/(моль·К) - универсальная газовая постоянная,

М - молярная масса вещества в кг/моль.

Из формулы (5а) следует, что при повышении температуры максимум функции распределения молекул по скоростям (рисунок 3) сместится вправо (значение наиболее вероятной скорости становиться больше). Однако площадь, ограниченная кривой, остаётся неизменной, так как общее число молекул газа не зависит от температуры. Поэтому, при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растягиваться и понижаться.

В молекулярно-кинетической теории пользуются понятием средней арифметической скорости поступательного движения молекул идеального газа, вычисляемой из закона распределения (3):

= = (6).

Скорости, характеризующие состояние газа: 1) наиболее вероятная - v_в = 2) средняя арифметическая - = = 1,13v_в, 3) средняя квадратичная - = = 1,22v_в, представлены на рисунке 2. Распределение молекул идеального газа по энергиям определяет долю из общего числа N молекул, которые имеют кинетические энергии = mv²/2, заключённые в интервале от до + d :

(7)

где f() – функция распределения молекул по энергиям.

Определим в качестве примера среднюю кинетическую энергию

(8)

Поиск по сайту: