Методика расчета цепей постоянного тока

Законы Кирхгофа используют для нахождения токов в ветвях схемы. Обозначим число всех ветвей схемы через m, число ветвей, содержащих источники тока, - через m_ит и число узлов - через n. В каждой ветви схемы течет свой ток. Так как токи в ветвях с источниками тока известны, то число неизвестных токов равняется m - m_ит. Перед тем как составлять уравнения, необходимо:

а) произвольно выбрать положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме;

б) выбрать положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону Кирхгофа.

С целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления их обхода выбирать одинаковыми, например все по часовой стрелке.

Чтобы получить линейно независимые уравнения, по первому закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу узлов без единицы, т. е. n - 1. По второму закону Кирхгофа составляют число уравнений, равное числу ветвей без источников тока (m - m_ит), за вычетом числа уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, т. е.:

(m - m_ит) - (n - 1) = m - m_ит - n+ 1.

Составляя уравнения по второму закону Кирхгофа, надо охватить все ветви схемы, исключая ветви с источниками тока. При записи линейно независимых уравнений по второму закону Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону Кирхгофа. Такие контуры называются независимыми.

Метод контурных токов. При расчете методом контурных токов полагают, что в каждом независимом контуре схемы течет свой контурный ток. Уравнения составляют относительно контурных токов, после чего определяют токи ветвей через контурные токи.

Таким образом, метод контурных токовможно определить как метод расчета, в котором за искомые принимают контурные токи. Число неизвестных в этом методе равно числу уравнений, которые необходимо было бы составить для схемы по второму закону Кирхгофа.

При использовании этого метода выбирают и обозначают контурные токи (по любой ветви должен проходить хотя бы один выбранный контурный ток). Известно, что общее число контурных токов k = m - m_ит - n + 1. Для определения контурных токов по второму закону Кирхгофа составляют “ k ” уравнений в виде:

(1)

где R_nn - собственное сопротивление n - го контура (сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в контур n); R_{n l} - общее сопротивление смежных контуров n и l, причем R_{n l} = R _{l n}; если направления контурных токов в общей ветви для контуров n и l совпадают, то R_{n l} положительно (R_{n l} > 0), в противном случае R_{n l} отрицательно (R_{n l} < 0); E_nn - алгебраическая сумма э.д.с., включенных в ветви, образующие контур n; R_n - общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J_n.

Метод узловых потенциалов. Он позволяет уменьшить количество уравнений системы до числа t, равного количеству узлов схемы без одного:

t = n - 1.

Сущность метода заключается в том, что вначале составляются уравнения по первому закону Кирхгофа для n - 1 узлов схемы, а затем токи в ветвях выражаются через потенциалы узлов и проводимости соответствующих ветвей.

(2)

Здесь g_ss - сумма проводимостей ветвей, присоединенных к узлу s; g_sq - сумма проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q; - алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей, примыкающих к узлу s, на их проводимости; при этом со знаком плюс берутся те э.д.с., которые действуют в направлении узла s, и со знаком минус - в направлении от узла s; - алгебраическая сумма токов источников тока, присоединенных к узлу s; при этом со знаком плюс берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком минус - в направлении от узла s.

Решая систему (2), находят потенциалы (n – 1) узлов, а затем токи в ветвях по закону Ома.

Методом узловых потенциалов рекомендуется пользоваться в тех случаях, когда число уравнений будет меньше числа уравнений, составленных по методу контурных токов.

Если в схеме некоторые узлы соединяются идеальными источниками э.д.с., то число t уравнений, составляемых по методу узловых потенциалов, уменьшается:

t = n - m_и - 1,

где m_и- число ветвей, содержащих только идеальные источники э.д.с.

Метод двух узлов. Для схем, имеющих два узла (для определенности узлы «a» и «b», узловое напряжение U_ab определяется формулой:

,

где åE_ng_n - алгебраическая сумма произведений э.д.с. ветвей (э.д.с. считаются положительными, если они направлены к узлу «a», и отрицательными, если направлены от узла «a» к узлу «b») на проводимости этих ветвей; J_n - токи источников тока (положительны, если они направлены к узлу «a», и отрицательны, если направлены от узла а к узлу «b»); _m - сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих узлы «a» и «b».

Метод наложения. Если в электрической цепи заданными величинами являются э.д.с. источников и токи источников тока, то расчет токов по методу наложения состоит в следующем. Ток в любой ветви можно рассчитать как алгебраическую сумму токов, вызываемых в ней э.д.с. каждого источника э.д.с. в отдельности и током, проходящим по этой же ветви от действия каждого источника тока. При этом надо иметь в виду, что когда ведется расчет токов, вызванных каким-либо одним источником э.д.с. или тока, то остальные источники э.д.с. в схеме заменяются короткозамкнутыми участками, а ветви с источниками тока остальных источников отключаются (ветви с источниками тока размыкаются).

Методы преобразования. Во всех случаях преобразования замена одних схем другими, им эквивалентными, не должна привести к изменению токов или напряжений на участках цепи, не подвергшихся преобразованию.

1.5 Замена последовательно соединенных сопротивлений одним эквивалентным.

Сопротивления соединены последовательно, если они обтекаются одним и тем же током (рис 5). Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n последовательно соединенных сопротивлений, равно сумме этих сопротивлений:

При последовательном соединении n сопротивлений напряжения на них распределяются прямо пропорционально этим сопротивлениям:

U₁: U₂:...: U_n = R₁: R₂:...: R_n.

В частном случае двух последовательно соединенных сопротивлений:

U₁/U₂ = R₁/R₂; U₁ = UR₁/(R₁ + R₂); U₂ = UR₂/(R₁ + R₂),

где U - общее напряжение, действующее на участке цепи, содержащем два сопротивления R₁ и R₂.

1.6 Замена параллельно соединенных сопротивлений одним эквивалентным .

Сопротивления соединены параллельно, если все они присоединены к одной паре узлов (рис. 6).

Эквивалентное сопротивление цепи, состоящей из n параллельно соединенных сопротивлений, определяется из формулы:

, или .

В частном случае параллельного соединения двух сопротивлений R₁ и R₂ эквивалентное сопротивление:

.

рис. 5	рис. 6

Формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 7) в эквивалентную звезду сопротивлений (рис.8):

рис. 7	рис. 8

; ;

; ; ,

где g - проводимость соответствующей ветви (см. рис. 7 и рис. 8).

Обратное преобразование звезды сопротивлений в треугольник сопротивлений:

; ;

.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 |

Поиск по сайту:

---