Ряды Фурье

Определение. Пусть f(x) – кусочно непрерывная периодическая функция с периодом Т=2 l. Рядом Фурье функции f(x) называется ряд

, (9)

где (10)

Теорема Дирихле. Если функция f(x) непрерывна или имеет точки разрыва только 1-го рода на [– l; l ] и при этом на [– l; l ] у нее конечное число экстремумов и точек разрыва (условия Дирихле), то ряд Фурье этой функции сходится для любых х из [– l; l ]. Сумма этого ряда S(x) равна:

1) f(x) в точках непрерывности из (– l; l);

2) среднему арифметическому пределов функции f(x) слева и справа в каждой

точке x₀ разрыва функции, т. е. S(x₀) = 0,5[f(x₀–0)+ f(x₀+0)];

3) S(x) = 0,5[f(l – 0)+ f(– l +0)] при х = – l их = l.

Если функция f(x) четная, т. е. f(–x) = f(x), то все b_n = 0, ряд Фурье имеет вид

, (11)

где (12)

Если функция f(x) нечетная, т. е. f(–x) = – f(x), то ее рядом Фурье является ряд

, (13)

где (14)

Поиск по сайту: