АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Примеры решения задач. Задача № 1.Найти суммы числовых рядов

Читайте также:
  1. C) Любой код может быть вирусом для строго определенной среды (обратная задача вируса)
  2. I. ПРЕДМЕТ И ЗАДАЧИ
  3. III. ЗАДАЧІ
  4. L Перевірка виконання домашньої задачі.
  5. VIII. Работа над задачей
  6. Акты ни МП, ни ВП пока не дают рецепта для разрешения возникающих правовых коллизий.
  7. Алгоритм принятия решения
  8. Аналитический этап разрешения конфликта
  9. Архитектурные решения
  10. Б. На отдельной тетради решить контрольные задачи.
  11. Бухгалтерский учет его функции, задачи и принципы.
  12. В производственном процессе выделяются тяжелые металлы, они не берутся в расчет при выдаче разрешения на выбросы.

Задача № 1. Найти суммы числовых рядов

а) ; б) .

а) Разложим общий член ряда на простейшие дроби:

.

Запишем сумму n первых слагаемых ряда Sn= а1 + а2 + а3 + …+ аn =

= + + + …+ +

+ =

Отсюда S = Sn = =

б) – убывающая геометрическая прогрессия с

q = и а1 = 5, тогда S =

Задача № 2. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд

.

Сравним исследуемый ряд с рядом (он сходится, т. к. степень a = 3>1).

Очевидно, справедливо неравенство . Значит, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.

Задача № 3. Используя предельную форму признака сравнения, исследовать ряд на сходимость.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Предел отношения их общих членов , что означает сходимость исследуемого ряда.

Задача № 4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд

.

Вычисляем предел

.

Результат меньше единицы, это говорит о сходимости ряда.

Задача № 5. Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряд .

Так как предел , ряд расходится.

Задача № 6. Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряд .

Если заменить аргумент n на непрерывно изменяющийся аргумент x, то ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно, т. к. подынтегральная функция непрерывна, положительна и монотонно убывает при x ³ 1:

=

В результате вычисления несобственного интеграла получено, что его значение конечно, это говорит о сходимости интеграла, а следовательно, и ряда.

Задача № 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

.

Легко проверить, что оба условия теоремы Лейбница выполняются для рассматриваемого ряда: члены ряда начиная с первого монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и аn = = 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.

Если записать знакоположительный ряд соответствующим данному, то, согласно признаку сравнения, этот ряд будет расходящимся, т. к. (как известно, ряд – расходящийся).

Отсюда можно сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда

.

Задача № 8. Дан степенной ряд .Найти область его сходимости и интервал сходимости.

Пусть R – радиус сходимости ряда. Он может быть вычислен по формуле

Интервал сходимости находится с помощью неравенства ; подставляя а = 1 и R = 1, находим . Получается, что .

Остается выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости. Для этого в рассматриваемый ряд подставляются x = 0, а затем

x = 2 и соответствующие числовые ряды исследуются на сходимость.

При x = 0 получится знакочередующийся ряд . Оба условия теоремы Лейбница выполняются для него: члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и аn = = 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.

При x = 2 получится знакоположительный ряд . Он расходящийся, согласно признаку сравнения, т. к. . Следовательно, уточненный интервал сходимости имеет вид .

Задача № 9. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости ряда .

Пусть z = x2 – 3, тогда получается ряд . Легко видеть (применяя методы предыдущей задачи № 8), что он сходится для всех z: . Обозначив сумму нового ряда S(z), проинтегрируем равенство S(z) = на отрезке [0, z], используя таблицу разложений в ряд Тейлора, а затем продифференцируем получившееся равенство:

= ; S(z) =

Подставив z = x2–3 в последнее равенство, получаем

= .

Это разложение имеет силу, если , т. е. 2 < x2 < 4, а, значит, область сходимости исследуемого ряда является объединением двух интервалов:

–2 < x < и < x < 2.

Задача № 10. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора для функции по степеням x – 4.

Используя формулу , преобразуем функцию следующим образом: = =

= = .

Применяя таблицу разложений функций в ряд Тейлора, получаем

= =

= .

Задача № 11. Вычислить интеграл с точностью 0,0001.

Используя таблицу разложений в ряд Тейлора, получаем

e x = = 1 – x +

этот ряд является знакочередующимся и сходится для любого x. Отсюда после вычитания из обеих частей равенства по 1 – x следует, что

e x – 1 + x =

Разделим это равенство на x2: =

Данный ряд также является знакочередующимся и сходится для любого x.

Отсюда следует, что его можно почленно проинтегрировать на отрезке [0; 0,1]:

=

После почленного интегрирования вновь получился знакочередующийся сходящийся ряд. Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают, что S» Sn= , пренебрегая остатком Rn= .

Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: .

Третье слагаемое суммы меньше 0,0001, поэтому для нахождения приближенного значения интеграла с заданной точностью достаточно вычислить сумму первых двух слагаемых.

Задача № 12. Найти первые 4 – 5 отличных от нуля членов в разложении функции у(х) в ряд Тейлора по степеням (х – а), если .

Ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x = a (по степеням х – а) имеет вид f(x) = f(a) + + + + … +

+ + … = .

Отсюда а = 1, у(1) = p, ,

,

.

Таким образом, искомый ряд Тейлора для у(x) в окрестности точки x = 1 имеет вид у(x) = p + + + + …

Задача № 13. Разложить функцию

с периодом 2p в тригонометрический

ряд Фурье (рис. 1).

Данная функция у удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и поэтому может быть разложена в ряд Фурье. Используя выражение (10), где l = p, получаем коэффициенты Фурье:

После подстановки этих коэффициентов в (9) получим искомый ряд:

Так как функция у удовлетворяет условиям Дирихле, сумма полученного ряда равна значению функции в любой точке ее непрерывности. В точках разрыва сумма равна p/2. На рисунке 2 показан график суммы ряда.

 
 

 

 


Задача № 14. Разложить функцию заданную на интервале

]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (рис. 3).

 

Доопределяя функцию y на интервале ]–2; 0[ четным образом (рис. 4), эту вспомогательную функцию продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4 (рис. 5), получим l = 2. Тогда, используя формулы (11), (12), находим

 

 

После подстановки этих коэффициентов в (10) получим искомый ряд:

.

На интервале ]0; 2[ сумма полученного ряда равна значению функции. На рисунке 6 показан график суммы ряда.

 

 

Задача № 15. Разложить функцию заданную на интервале ]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по синусам (рис. 3).

Доопределим функцию у на интервале ]–2; 0[ нечетным образом (рис. 7), а затем продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4.

 

 

Найдем коэффициенты Фурье по формуле (14) при l = 2:

После подстановки этих коэффициентов в (13) получим искомый ряд:

.

На интервале ]0; 2[ сумма этого ряда равна значению функции. На рисунке 8 показан график суммы ряда.

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)