Примеры решения задач. Задача № 1.Найти суммы числовых рядов

Задача № 1. Найти суммы числовых рядов

а) ; б) .

а) Разложим общий член ряда на простейшие дроби:

.

Запишем сумму n первых слагаемых ряда S_n= а₁ + а₂ + а₃ + …+ а_n =

= + + + …+ +

+ =

Отсюда S = S_n = =

б) – убывающая геометрическая прогрессия с

q = и а₁ = 5, тогда S =

Задача № 2. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд

.

Сравним исследуемый ряд с рядом (он сходится, т. к. степень a = 3>1).

Очевидно, справедливо неравенство . Значит, согласно признаку сравнения, исследуемый ряд тоже сходится.

Задача № 3. Используя предельную форму признака сравнения, исследовать ряд на сходимость.

Сравним данный ряд со сходящимся рядом . Предел отношения их общих членов , что означает сходимость исследуемого ряда.

Задача № 4. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд

.

Вычисляем предел

.

Результат меньше единицы, это говорит о сходимости ряда.

Задача № 5. Используя радикальный признак Коши, исследовать на сходимость ряд .

Так как предел , ряд расходится.

Задача № 6. Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость ряд .

Если заменить аргумент n на непрерывно изменяющийся аргумент x, то ряд и интеграл сходятся и расходятся одновременно, т. к. подынтегральная функция непрерывна, положительна и монотонно убывает при x ³ 1:

=

В результате вычисления несобственного интеграла получено, что его значение конечно, это говорит о сходимости интеграла, а следовательно, и ряда.

Задача № 7. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд

.

Легко проверить, что оба условия теоремы Лейбница выполняются для рассматриваемого ряда: члены ряда начиная с первого монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и а_n = = 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.

Если записать знакоположительный ряд соответствующим данному, то, согласно признаку сравнения, этот ряд будет расходящимся, т. к. (как известно, ряд – расходящийся).

Отсюда можно сделать вывод об условной сходимости знакочередующегося ряда

.

Задача № 8. Дан степенной ряд .Найти область его сходимости и интервал сходимости.

Пусть R – радиус сходимости ряда. Он может быть вычислен по формуле

Интервал сходимости находится с помощью неравенства ; подставляя а = 1 и R = 1, находим . Получается, что .

Остается выяснить, сходится или расходится ряд в граничных точках интервала сходимости. Для этого в рассматриваемый ряд подставляются x = 0, а затем

x = 2 и соответствующие числовые ряды исследуются на сходимость.

При x = 0 получится знакочередующийся ряд . Оба условия теоремы Лейбница выполняются для него: члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине, т. е. и а_n = = 0, что говорит о сходимости исследуемого ряда.

При x = 2 получится знакоположительный ряд . Он расходящийся, согласно признаку сравнения, т. к. . Следовательно, уточненный интервал сходимости имеет вид .

Задача № 9. Используя дифференцирование и интегрирование степенных рядов, найти сумму и указать область сходимости ряда .

Пусть z = x² – 3, тогда получается ряд . Легко видеть (применяя методы предыдущей задачи № 8), что он сходится для всех z: . Обозначив сумму нового ряда S(z), проинтегрируем равенство S(z) = на отрезке [0, z], используя таблицу разложений в ряд Тейлора, а затем продифференцируем получившееся равенство:

= ; S(z) =

Подставив z = x²–3 в последнее равенство, получаем

= .

Это разложение имеет силу, если , т. е. 2 < x² < 4, а, значит, область сходимости исследуемого ряда является объединением двух интервалов:

–2 < x < и < x < 2.

Задача № 10. Используя табличные разложения, составить ряд Тейлора для функции по степеням x – 4.

Используя формулу , преобразуем функцию следующим образом: = =

= = .

Применяя таблицу разложений функций в ряд Тейлора, получаем

= =

= .

Задача № 11. Вычислить интеграл с точностью 0,0001.

Используя таблицу разложений в ряд Тейлора, получаем

e ^–x = = 1 – x + …

этот ряд является знакочередующимся и сходится для любого x. Отсюда после вычитания из обеих частей равенства по 1 – x следует, что

e ^–x – 1 + x = …

Разделим это равенство на x²: = …

Данный ряд также является знакочередующимся и сходится для любого x.

Отсюда следует, что его можно почленно проинтегрировать на отрезке [0; 0,1]:

=

После почленного интегрирования вновь получился знакочередующийся сходящийся ряд. Для приближенного вычисления суммы S сходящегося ряда полагают, что S» S_n= , пренебрегая остатком R_n= .

Для знакочередующихся рядов, удовлетворяющих признаку Лейбница, справедлива следующая оценка: .

Третье слагаемое суммы меньше 0,0001, поэтому для нахождения приближенного значения интеграла с заданной точностью достаточно вычислить сумму первых двух слагаемых.

Задача № 12. Найти первые 4 – 5 отличных от нуля членов в разложении функции у(х) в ряд Тейлора по степеням (х – а), если .

Ряд Тейлора для функции f(x) в окрестности точки x = a (по степеням х – а) имеет вид f(x) = f(a) + + + + … +

+ + … = .

Отсюда а = 1, у(1) = p, ,

,

.

Таким образом, искомый ряд Тейлора для у(x) в окрестности точки x = 1 имеет вид у(x) = p + + + + …

Задача № 13. Разложить функцию

с периодом 2p в тригонометрический

ряд Фурье (рис. 1).

Данная функция у удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле и поэтому может быть разложена в ряд Фурье. Используя выражение (10), где l = p, получаем коэффициенты Фурье:

После подстановки этих коэффициентов в (9) получим искомый ряд:

Так как функция у удовлетворяет условиям Дирихле, сумма полученного ряда равна значению функции в любой точке ее непрерывности. В точках разрыва сумма равна p/2. На рисунке 2 показан график суммы ряда.

Задача № 14. Разложить функцию заданную на интервале

]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по косинусам (рис. 3).

Доопределяя функцию y на интервале ]–2; 0[ четным образом (рис. 4), эту вспомогательную функцию продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4 (рис. 5), получим l = 2. Тогда, используя формулы (11), (12), находим

После подстановки этих коэффициентов в (10) получим искомый ряд:

.

На интервале ]0; 2[ сумма полученного ряда равна значению функции. На рисунке 6 показан график суммы ряда.

Задача № 15. Разложить функцию заданную на интервале ]0; 2[, в тригонометрический ряд Фурье по синусам (рис. 3).

Доопределим функцию у на интервале ]–2; 0[ нечетным образом (рис. 7), а затем продолжим периодически на всю числовую прямую с периодом Т = 4.

Найдем коэффициенты Фурье по формуле (14) при l = 2:

После подстановки этих коэффициентов в (13) получим искомый ряд:

.

На интервале ]0; 2[ сумма этого ряда равна значению функции. На рисунке 8 показан график суммы ряда.

Поиск по сайту: