|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Степенные ряды
Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд , (8) члены которого есть произведения постоянных на степенные функции с целыми показателями степеней от разности (х - а). Постоянные а0, а1, а2, а3, …, аn, … называются коэффициентами степенного ряда. В частном случае при а = 0 имеют степенной ряд вида . Основное свойство степенных рядов сформулировано в теореме Абеля. Если степенной ряд (8) сходится при х = х0, то он сходится и притом абсолютно при всяком значении х, удовлетворяющем условию . Одним из следствий теоремы Абеля является существование для всякого степенного ряда интервала сходимости, симметричного относительно х = а [для ряда (8)]. Обозначим через число R половину длины интервала сходимости – радиус сходимости. Тогда интервал сходимости для ряда (8) запишется в виде или , а при а = 0 или . В частных случаях радиус сходимости ряда R может оказаться равным нулю или бесконечности. Если R = 0, это означает, что область сходимости состоит из одной точки х = а, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного. Если же R = ¥, то ряд сходится на всей числовой оси, т. е. ряд сходится при всех значениях х. На концах интервала сходимости в точках х = а ± R различные степенные ряды ведут себя по-разному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие – либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном сходятся условно, а на другом расходятся; существуют ряды, которые расходятся на обоих концах. Для определения интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно использовать следующие способы. 1. Если среди коэффициентов ряда а0, а1, а2, а3, …, аn, … нет равных нулю, т. е. ряд содержит все целые положительные степени разности х – а, то радиус сходимости находится по формуле или при условии, что этот предел, конечный или бесконечный, существует (это условие должно выполняться и для нижеприведенных способов). 2. Если степенной ряд имеет вид , где р– некоторое определенное целое положительное число, то радиус сходимости данного ряда . 3. Во всех случаях интервал сходимости степенного ряда можно находить, непосредственно применяя известные признаки Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Запишем степенной ряд в виде , используя следующие обозначения: , , где зависимость Nот n может быть любой (в частности, N = p×n) и через an обозначен не коэффициент при , а коэффициент n-го члена ряда. Применяя к ряду, составленному из абсолютных значений членов ряда признак Даламбера или признак Коши, интервал сходимости исходного степенного ряда находим из соответствующих неравенств: или . Теорема 1. Если ряд (8) сходится на отрезке [a; b], то его можно почленно проинтегрировать на этом отрезке: dx. Теорема 2. Ряд (8) можно почленно продифференцировать в каждой точке x его интервала сходимости. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.) |