АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Читайте также:
  1. А) функциональным распределением
  2. Барометрическая формула. Распределение Больцмана
  3. Биномиальное распределение.
  4. Геометрическое распределение
  5. Гипергеометрическое распределение
  6. Как происходит перераспределение моментов?
  7. Лесная биомасса и ее вертикальное распределение
  8. Нормальное распределение и его свойства.
  9. Показательное (экспоненциальное распределение)
  10. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЙБУЛЛА
  11. Распределение властных полномочий в семье. Лидерство. Авторитет. Деспотизм. Насилие в семье.

 

Плотность вероятности нормального распределения случайной величины t имеет вид

 

Этому распределению соответствует зависимость, приведенная на рис. 3.3.

 

Функция нормального закона распределения имеет вид

 

 

 
f (t)
t
T0
А
В
T01
Рис. 3.3.Плотность нормального распределения случайной величины t

 

При нормальном распределении случайная величина х может принимать любые значения от –∞ до +∞. Однако рассматриваемая в нашем случае случайная величина t есть время, которое может изменяться только в пределах от 0 до +∞. При этом интеграл от функции распределения в пределах изменения t от 0до +∞ должен быть равен единице.

Если кривая распределения f (t) располагается правее оси ординат так, что заштрихованный участок площади (рис. 3.3) практически ничтожно мал, то для (3.17) справедливо выражение

 

 

и расчет характеристик надежности можно производить, используя функцию распределения в виде

где T 0–математическое ожидание наработки до отказа; σ –среднее квадратическое отклонение наработки до отказа.

Однако, если значительная часть кривой f (t)оказывается в отрицательной области, т. е. заштрихованная часть площади кривой А (рис. 3.3) получается значительной, то для расчета надежности необходимо использовать усеченное распределение случайной величины Т:

 

Нормирующий множитель g определяется из условия равенства единице площади кривой распределения f* (t) в пределах 0≤ t ≤ ∞.

 

или

 

С целью приведения интеграла в (3.21) к нормированной форме, для которой имеются таблицы значений, в выражении f (t)можно сделать замену переменной t на и:

Тогда t = u σ + T 0, dt = σ du и

 

 

где Ф (u) - нормированная функция Лапласа.

Таблица значений этой функции приведена в Приложении 1.

Таким образом, поскольку для определения значения g для верхнего предела следует положить t = ∞ т. е. u = ∞, то из (3,21), (3.22) следует:

 

Вероятность безотказной работы за время t

Интенсивность отказов, поскольку

будет

В (3.23)...(3.25) значения T и σсоответствуют полному, т. e. не усеченному распределению f (t).

Для усеченного распределения значения математического ожидания времени отказа T 0 и среднего квадратического отклонения σ выражаются в следующем виде:

 

; (3.26)

Здесь

Следует учитывать усеченность распределения случайной величины Т, если Т — Зσ < 0. В противном случае в вышеприведенных формулах можно положить g= 1 ,k0 = 0.

Пример 3 .4. Наработка до отказа имеет нормальное распределение с T 00 = 1000 ч, σ= 200 ч. Требуется определить: вероятность безотказной работы p (t = 500ч) через t = 500 ч; наработку t 1при которой p(t 1) = 0,9.

Решение: а) по условию T 0 — 3σ= 1000 - 600 = 400 > 0.| Поэтому следует использовать не усеченное распределение ;

 

б) согласно (3.23)

 

 

 

Здесь Ф ( 2,5)= 0,4938 определена по табл. Приложения 1;

 

 

в) в соответствии с (3.24) и условием задачи

 

 

Отсюда

Значение обратной функции Лапласа определяется из табл. приложения 1:

 

Пример 3 .5. При нормальном распределении наработки доотказа

T 0= 1000 ч, σ = 700 ч.

Определить вероятность безотказной работы через t 1= 500 ч, среднее время T 0 безотказной работы, среднее квадратическое отклонение σ*.

Решение. По условию задачи T 0 – 3σ =1000 – 2100= –1100 < 0. Поэтому необходимо использовать усеченное распределение.

а) согласно (3.23) и табл. Приложения 1

 

 

 

 

б) согласно (3.24) и табл. приложения 1

 

 

 

 

 

в) из (3.28):

 

 

 

г) из (3.26) и (3.27)

 

 

Пример 3 .5. При нормальном распределении наработки доотказа

T 0= 2000 ч, σ = 1100 ч.

Определить вероятность безотказной работы через t 1= 1200 ч, среднее время T 0 безотказной работы, среднее квадратическое отклонение σ*.

Решение. По условию задачи T 0 – 3σ =1000 – 2100= –1100 < 0. Поэтому необходимо использовать усеченное распределение.

а) согласно (3.23) и табл. Приложения 1

 

 

 

 

 

 

Нормальное распределение широко используется на практике (время ремонта изделия, наработка до отказа ряда изделий, погрешности и т. д.).

 

 

3 .4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БИНОМИНАЛЬНОЕ, ПУАССОНА И РЕЛЕЯ

Биноминальное распределение. Распределение случайной величины называется биноминальным, если она может принимать целые положительные значения 0, 1, 2,... п с вероятностями

 

 

где вероятность того, что случайная величина примет значение т (т = 0, 1, 2, … п) из п возможных;

 

 

число сочетании из п по т;

p – вероятность рассматриваемого события (например, вероятность безотказной работы); 1 – p =q — дополнение до вероятности полной группы событий (в принятом случае — вероятность отказа).

Математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биноминальному закону, можно записать так:

 

При больших п биноминальное распределение становится близким к нормальному с параметрами (3.22). Биноминальное распределение используется в данной работе при изучении задач резервирования.

 

 

Распределение Пуассона. Случайная величинах, принимающая только целые и положительные значения, подчиняется распределению Пуассона, если вероятность того, что она принимает значение х, определяется уравнением

 

Математическое ожидание и дисперсия распределения:

 

 

Если а = n λ t, где п— число однотипных изделий; λ — интенсивность отказов, то (3.31) дает вероятность того, что число отказов за время t будет равно х.

Если число отказов х = 0, то из (3.31) следует вероятность безотказной работы

 

Характер изменения вероятности появления ровно х событий в зависимости от значения параметра а приведен на рис. 3.4. Для наглядности дискретные точки при данном значении а соединены отрезками прямых линий.

Распределение Пуассона широко используется при оценке случайного числа отказов восстанавливаемых изделий в период приработки, при расчетах количества запасных изделий (ЗИП) и др.

x
px
0.5
 
a= 0.5
 
 
3,5
 
 
 
 

 

 

Рис. 3.4. Вероятности появления ровно х событий при разных значениях параметра а распределения Пуассона

 

 

Распределение Релея. Плотность вероятности распределений Релея случайной величины Т имеет вид:

 

 

где μ— мода распределения.

 

Модой случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т. е. такое, при котором плотность вероятности максимальна.

 

f (t)  
λ(t)
λ(t), f (t)  
t  
 
p (t),  
t  
 
 
a)  
б)  

 

 

Рис. 3.5. Показатели надежности при распределении Релея: a)λ(t), f (t); б) -p (t)

 

Вероятность безотказной работы

 

Интенсивность отказов

 

Математическое ожидание случайной величины

 

Дисперсия

 

 

Зависимости f (t), λ (t), p (t)для случая распределения Релея приведены на рис. 3.5.

 

 


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.018 сек.)