Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в и непрерывно дифференцируема по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности

где — средний шаг, то есть существует такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко. Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисленияи ряда других математических проблем.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

Прогноз:

.

Коррекция:

.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Список литературы.

1.Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения), Н.С. Бахвалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1975г.

2.Методы, теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Н.И. Гаврилов 3.Государственное издательство «Высшая школа» Москва-1962г.

4.В.В.Пак., Ю.Л. Носенко. Высшая математика: Учебник.- Д.: Сталкер, 1997г.

5.Б. П. Демидович, И. А. Марон Основы вычислительной математике. – М., 1966

6.Загускин В. Л. – Справочник по численным методам решения уравнений. – М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. – 216 с.

7. Высшая математика: Справ. материалы: Книга для учащихся.- М.:

Просвещение, 1988.-416 с.: ил.

8.Эйлер Л. Интегральное исчисление. Том 1. — М.: ГИТТЛ. 1956.

9.Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука. 1986.

Заключение

Изобретение языков программирования высшего уровня, а также их постоянное совершенствование и развитие, позволило человеку не только общаться с машиной и понимать ее, но использовать ЭВМ для сложнейших расчетов в области самолетостроения, ракетостроения, медицины и даже экономики.

На сегодняшний день, любое среднее и крупное предприятие, имеет в своем штате группу программистов, обладающими знаниями программирования различными языками, которые редактируют, изменяют, и модифицируют программы используемыми сотрудниками предприятия. Это говорит о том, что на рынке труда пользуются спросом обладающими знаниями и опытом работы с различными языками программирования.

Несмотря на то, что современный уровень развития языков программирования находятся на высоком уровне, тенденция их развития, а также развития информационных технологий в целом, складывается таким образом, что можно предположить, что в ближайшем будущем, человеческие познания в этой сфере, помогут произвести на свет языки, умеющие принимать, обрабатывать и передавать информации в виде мысли, слова, звука или жеста.

Поиск по сайту: