С ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

Цель работы - Расчёт ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли путём измерения периода колебаний математического маятника при заданной его длине.

Теоретический анализ. Из закона Всемирного тяготения и 2-го закона Ньютона следует, что ускорение свободного падения g всех тел вблизи поверхности Земли одинаково и зависит только от расстояния R тела от центра Земли (или от высоты h над уровнем моря):

, т.е. . (1)

Из-за суточного вращения Земли на тела действует кромегравитационной силы также центробежная сила инерции, а значит, ускорение свободного падения зависит и от географической широты j местности, в которой проводятся измерения. Расчётная формула выглядит следующим образом:

g = 9,78049×(1 + 0,005288× sinj - 0,000006× sin²2j) - 0,0003086× h (м), м/с².

Таким образом, ускорение свободного падения вблизи поверхности Земли возрастает от 9,78 м/с² на экваторе до 9,83 м/с² на полюсах.

Описание методики экспериментов.

Существуют простые способы определения ускорения свободного падения с помощью математического маятника.

Если груз, подвешенный на длинной нити, отклонить от положения равновесия и отпустить без начальной скорости, то он под действием силы тяжести будет совершать колебания в вертикальной плоскости, двигаясь по дуге окружности. Если линейные размеры груза малы по сравнению с длиной нити l, а сама нить практически невесома и нерастяжима, то такую систему можно считать математическим маятником, период колебаний которого равен:

. (2)

Зная длину нити l и период колебаний маятника Т, можно рассчитать ускорение свободного падения g в данной точке вблизи поверхности Земли:

(3)

Относительная погрешность, с которой можно таким методом измерить ускорение свободного падения g, равна: . (4)

Погрешность измерения периода колебаний можно практически свести к нулю, измеряя время достаточно большого числа колебаний. При этом период и относительная погрешность его измерения равны: Т = , dТ= . (5)

Чем больше колебаний совершает маятник, тем больше время t_n, тем меньше относительная погрешность измерения периода колебаний. Например, при t_n= 200c и Dt_n =0,2c, относительная погрешность равна 0,001=0,1%, при t_n =1000c и Dt_n =0,2c, относительная погрешность равна 0,0002=0,02% и т.д.

Таким образом, погрешность при измерении ускорения g определяется погрешностью измерения расстояния l центра масс груза от точки подвеса нити.

Относительная погрешность: , абсолютная погрешность: .

Для уменьшения этой погрешности применяется графический метод, основанный на следующем. Истинное значение расстояния l центра масс груза от точки подвеса нити, стоящее под корнем в формуле (2), равно измеренному значению l_изм плюс или минус добавка Dl, связанная с неточностью измерения: l = l_изм ± Dl. Тогда формула (2) принимает вид:

или . (6)

График зависимости Т²(l) представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона которой равен: tga = . Это позволяет по его значению определить ускорение свободного падения:

(7)

Добавка Dl, обусловленная невозможностью точного измерения расстояния l от центра масс груза до точки подвеса нити, не влияет на tga, а значит, не влияет и на расчётное значение g. Для построения графика нужно измерить период колебаний маятника при нескольких значениях длины нити, например, от точки подвеса до точки её крепления к грузу.

Результаты измерений:

Вывод: освоен графический метод измерения ускорения свободного падения g вблизи поверхности Земли с помощью физического маятника; отклонение полученного значения g от истинного (справочных данных) составляет... %.

Поиск по сайту: