Спектр периодического сигнала

Тригонометрический ряд Фурье (1.8) представляет периодический сигнал s (t) с периодом Т суммой постоянной составляющей и гармонических колебаний (гармоник) A_ncos (n W t+j_n) (n=1, 2, 3,…), с частотами n W, образующими гармоническую последовательность (т.е. кратными основной частоте W =2p/T), амплитудами A_n и фазами j_n. Компоненты A_ncos (n W t+j_n) называют спектральными или частотными составляющими. Зависимости амплитуд гармонических компонент от частоты называют амплитудным спектром, а фаз от частоты – фазовым спектром. Для периодической функции спектр существует только на частотах w =W, 2 W, 3 W, …, т.е. он дискретный. Графически такой спектр изображают вертикальными линиями на частотах w = W, 2 W, 3 W, …, высота которых пропорциональна амплитуде (фазе) соответствующей частотной составляющей. Такой спектр называют иногда линейчатым.

При использовании экспоненциального ряда Фурье (1.7) периодическая функция представляется суммой постоянной составляющей и спектральных составляющих вида с частотами ±W, ±2W, ±3W, …, и комплексными амплитудами . Появление отрицательных частот связано с представлением действительных гармонических колебаний в форме: , а потому отрицательные частоты – понятие математическое, а не физическое. С этой точки зрения спектр, построенный на основе коэффициентов комплексного ряда Фурье (1.7), иногда называют математическим в отличие от физического спектра, представленного коэффициентами A_n и j_n тригонометрического ряда Фурье (1.5). Выражая комплексную амплитуду в форме , приходим к выводу, что для спектрального представления периодической функции необходимо иметь два линейчатых спектра: спектр амплитуд, отображающий зависимость C_n, и спектр фаз, отображающий зависимость y_n от частоты, принимающей дискретные значения w = nW (n= ±1, ±2 ,…). Из соотношений (1.6) и (1.9) следует, что C_n = A_n/2, y_n = j_n, а также C_-n = C_n, j_-n=-j_n, поэтому амплитудный спектр действительной функции представляется четной функцией частоты, а фазовый спектр – нечетной функцией частоты. Не следует думать, что только периодические функции обладают дискретным спектром. Например, колебание вида s (t) =Acos W t + BcosÖ2 W t представляет собой непериодическое колебание со спектром, состоящим из двух спектральных линий на частотах W и Ö2 W.

Поиск по сайту: