Основные теоретические сведения. Для непериодических сигналов, в частности, импульсных, локализованных в конечном временном интервале

Для непериодических сигналов, в частности, импульсных, локализованных в конечном временном интервале, ряд Фурье допускает плодотворное обобщение, позволяющее получить их спектральные характеристики.

Для непериодического сигнала s (t), заданного на бесконечном интервале (-¥, ¥), такой характеристикой является функция спектральной плотности сигнала , определяемая соотношением:

(2.1)

которая также называется преобразованием Фурье данного сигнала. Спектральная характеристика позволяет представить сигнал в виде

, (2.2)

т.е. непрерывной суммой экспоненциальных функций e^jwt с частотами в интервале (-¥< w <¥). Комплексная амплитуда составляющей на любой частоте бесконечно мала и равна , поэтому имеет смысл спектральной (частотной) плотности комплексной амплитуды.

Соотношения (2.1) и (2.2) известны как пара преобразований Фурье, причем (2.1) называют прямым, а (2.2) – обратным преобразованием Фурье. Взаимно однозначное соответствие s (t) и отображают символически: s (t) «. Итак, сигнал может иметь временное и частотное представление функциями s (t) и соответственно. Любое из этих представлений полностью определяет сигнал.

Из сравнения соотношений (1.8) и (2.1) следует, что спектральная плотность обладает всеми свойствами коэффициентов ряда Фурье. Так, в частности, можно написать соотношение

, (2.3)

где

(2.4)

Модуль S(w) и аргумент j(w) спектральной плотности как функции частоты называют соответственно амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками непрерывного (сплошного) спектра непериодического сигнала s (t). Из (2.4) очевидно, что для действительного сигнала АЧХ S (w) - четная функция w, а ФЧХ j (w) - нечетная функция.

Комплексное представление действительного сигнала (2.2) через спектральную плотность можно привести к тригонометрической форме:

(2.5)

где при получении окончательного выражения использованы свойства четности S (w) и нечетности j (w).

Для практических приложений важна связь между преобразованием сигнала как функции времени и соответствующим ему изменением спектральной плотности. Эти соотношения называют свойствами преобразования Фурье. Приведем некоторые наиболее важные из них [1].

1. Если , , то для имеем

. (2.6)

При этом S ₂(w) = S ₁(w), j ₂(w) = j ₁(w) - wt ₀.

Итак, при сдвиге сигнала во времени на t ₀ амплитудно-частотный спектр не изменяется, а к фазо-частотному спектру добавляется слагаемое (- wt ₀), линейно зависящее от частоты w.

С другой стороны, если , то

, (2.7)

т.е. сдвиг спектра по оси частот на w ₀ происходит при умножении сигнала на функцию .

2. Пусть , т.е. k >1 соответствует сжатию, а 0< k <1 - растяжению сигнала во времени. При этом

(2.8)

Итак, в частности, сжатие сигнала в k раз на временной оси во столько же раз расширяет его спектр и уменьшает интенсивность спектральной плотности.

3. Если , то

(2.9)

При ,

. (2.10)

4. Пусть s (t)= s ₁(t)× s ₂(t).

При этом

. (2.11)

Итак, спектральная плотность произведения двух сигналов находится операцией свертки с множителем 1/2p спектральных плотностей сомножителей.

5. Пусть , т.е. сигнал s (t) образован сверткой сигналов s ₁(t) и s ₂(t). При этом

. (2.12)

Спектральная плотность сигнала s (t) в этом случае находится перемножением спектральных плотностей свертываемых компонент.

6. Преобразование Фурье – линейная операция, следовательно, для нее справедлив принцип суперпозиции. Если , где r_i - числовые коэффициенты, а s_i (t) «, то

. (2.13)

7. Преобразование Фурье обладает свойством симметрии по переменным t и w, т.е., если s (t) «, то

. (2.14)

Перечисленные свойства широко используются при нахождении спектральных плотностей сигналов, представляемых некоторыми комбинациями других более простых сигналов, спектральные плотности которых известны.

Важным параметром импульсного сигнала является его энергия, определяемая соотношением . Сигналы с конечной энергией называют энергетическими. С использованием соотношения (2.11) при s ₁(t) = s ₂(t) = s (t) несложно выразить энергию действительного s (t) сигнала в форме:

. (2.15)

Соотношение (2.15) известно как равенство Парсеваля (Релея) и выражает энергию как интеграл от квадрата амплитудно-частотного спектра сигнала. При этом функцию S ²(w) в (2.15) можно трактовать как спектральную плотность энергии, определяющую величину энергии, приходящейся на единицу полосы частот. Функцию S ²(w) называют энергетическим спектром сигнала.

Автокорреляционная функция детерминированного действительного сигнала, вводимая соотношением , и энергетический спектр S ²(w) сигнала связаны между собой как пара преобразований Фурье:

, (2.16)

. (2.17)

В заключение заметим, что преобразование Фурье (2.1) существует для функций, удовлетворяющих условию абсолютной интегрируемости, для которых . Однако с использованием обобщенных функций, в частности, дельта-функции d(t) появляется возможность выражать спектральные плотности неинтегрируемых сигналов, к числу которых относятся и периодические сигналы. Таким образом, преобразование Фурье становится единым инструментом для нахождения спектральных характеристик как периодических, так и непериодических сигналов.

Поиск по сайту: