Задача потребительского выбора

Задача нелинейного прогр-я

Задача:

150т руб.

X1-наем.раб.

Х2-покупка рес-в

0,001∙X₁ ^0,6∙X₂^0,4=Fmax-?

Ф-ия Лагранжа:

L=цел.ф-ия+l∙усл-е

L=0,001∙ X₁ ^0,6∙X₂^0,4+lx1+lx2-150l

Из 2го ур-я вычитаем 1е:

0,0004∙x1^0,6∙x2^-0,6-0,0006∙x1^-0,4∙x2^0,4=0 |∙500

2x1^0,6∙x2^-0,6-3x1^-0,4∙x2^0,4=0

x1^-0,4∙x2^-0,6(2x1-3x2)=0

x1,x2¹0

2x1-3x2=0 => 2x1=3x2; x1=3/2x2

X1+x2=150

3/2x2+x1=150

X2=150/2,5=60

X1=90

maxF=0,001∙x1^0,6∙x2^0,4=0,001∙90^0,6∙60^0,4=0,08

A=L``_x1x1=-0,4∙0,001∙0,6∙x1^-1,4∙x2^0,4

B=L``_x2x2=-0,6∙0,001∙0,4∙x2^-1,6∙x1^0,6

C=L``_x1x2=0,4∙0,6∙0,001∙x2^-0,6∙x1^-0,4

∆=AB-C²=-0,4∙0,001∙0,6∙x1^-1,4∙x2^0,4∙(-0,6∙0,001∙0,4∙

x2^-1,6∙x1^0,6)-(0,4∙0,6∙0,001∙x1^-0,4∙

x2^-0,6)=(0,4∙0,001∙0,6)²∙(90^-0,8∙60^-1,2-90^-0,8∙60^-1,2)=0

d²L=L``<sub>x1x1</sub>dx1<sup>2</sup>+2L``_x1x2dx1dx2+L``_x2x2dx2²=0,001∙0,6∙

(-0,4) ∙90^-1,4∙60^0,4∙dx1²+2∙0,001∙0,6∙0,4∙90^-0,4∙

60^-0,6dx1dx2+0,001(-0,6) ∙0,4∙90^0,6∙60^-1,6dx2²=

-0,001∙0,6∙0,4∙90^-1,4∙60^-1,6(60²dx1²-2∙90∙60∙dx1dx2+90²dx2²)=-0,001∙0,6∙0,4∙90^-1,4∙

60^-1,6(60dx1-90dx2)²

d²L<0 =>max => x1=90; x2=60- точка max

d²L>0 =>min

d₂L<>0=> нет экстр

Задача потребительского выбора

Задача 2

U= ; U=600

Xi(i=1,3)

P_x1=5, P_x2=2, P_x3=10

Fmin=5x1+2x2+10x3=?

ìL=5x1+2x2+10x3+l∙ -600=5x1+2x2+10x3+lx1^2/3∙x2^2/3∙x3^5/3-l600

ïL`_x1=5+2/3l∙x1^-1/3∙x2^2/3∙x3^5/3=0

íL`_x2=2+2/3l∙x1^2/3∙x2^-1/3∙x3^5/3=0

ïL`^x3=10+5/3∙l∙x1^2/3∙x2^2/3∙x3^2/3=0

îL`_l= x1^2/3∙x2^2/3∙x3^5/3-600=0

l=-5∙3/2∙x1^-1/3∙x2^2/3∙x3^5/3(выр-ли из 1го ур-я)

Подставляем во 2:

2-2/3∙ =0

2-5∙x1∙x2^-1=0

2-5∙x1/x2=0 =>x1=2/5x2, x2=5/2x1

Подставляем найденные Хы в 3е ур-е:

10-

10=25/2∙x1/x3

X1=4/5x3, x3=5/4x1

X₁³=600/[(5/2)^2/3∙(5/4)^5/3];

X₁=600^1/3/[(5/2)^2/9∙(5/4)^5/9];

X₂=5/2 ; x₃=5/4

Fmin=5∙ +5∙ +25/5 =45/2

Задачи дробно-линейного прогр.

fmin-?, x^_=(x1,x2)

ì0,3x1+0,2≤500

ï0,2x1+0,3x2≥400

í0,3x1+0,2x2≥300

îX1,2≥0

Fmin=(0,3+0,8x2)/x1+x2

Выразить Х2 из ф-ии

F(x1+x2)=0,3x+0,8x2

Fx1+fx2=0,3x1+0,8x2

Fx2-0,8x2=0,3x1-fx1

X2(f-0,8)=x1(0,3-f)

X2=[x1(0,3-f)]/f-0,8

X2=kx1

k=0,3-f/f-0,8

¶k/¶f=[(0,3-f)`(f-0,8)-(0,3-f)(f-0,8)`]/(f-0,8)²=[0,8-f-0,3+f]/(f-0,8)²=0,5/(f-0,8)²>0

Т.к ищем fmin, то f¯, знак произ-й >0 значит k¯

т.А: ì0,3x1+0,2x2=500

î2x1+3x2=400

=> x1=1400, x2=400

Fmin=[0,3∙1400+0,8∙400]/1800=0,4

Знач-е ф-ции должно попасть в промежуток 0,3<x<0,8

f­ и k_f`>0, то k­, т.е

f­ и k_f`<0, то k¯, т.е

f¯ и k_f`>0, то k¯, т.е

f¯ и k_f`<0, то k↑, т.е

Задача распр-яинвестиций

5млн.р в 3 предприятия(n=3)

1этап усл.опт:

1)j=3, w3(S2)=f3(x3), 1≤x≤5

X3(1)=1 W3(1)=1,7

X3(2)=2 W3(2)=2,4

X3(3)=3 W3(3)=2,7

X3(4)=4 W3(4)=3,2

X3(5)=5 W3(5)=3,5

2)j=2

S1=1

W2(1)=2,x2(1)=1

S=2

W2(2)=3,7, x2(2)=1

S=3

W2(3)=4,4, x2(3)=1

S=4

W2(4)=4,7, x2(4)=1

S=5

W2(5)=5,2, x2(5)=1\4

____________

W2(1)=2,x2(1)=1

W2(2)=3,7, x2(2)=1

W2(3)=4,4, x2(3)=1

W2(4)=4,7, x2(4)=1

W2(5)=5,2, x2(5)=1\4

3)j=1

S=5

W1(5)=6,4, x1(5)=2

2 этап безусловная оптимизация

S₀=5

X1(5)=2

X2(3)=1

X3(2)=2

Поиск по сайту: