Опорожнение камеры постоянного объема

Докритический режим

PV = QRT,

но =-G.

Поэтому

Возьмем интеграл ∫dP/√P-Pa подстановкой P-Pa = t, тогда dt=dP

∫ dt / √t =∫ t^-1/2 dt = =2 .

Отсюда

=

Окончательно получим

. (8.28)

Надкритический режим

(8.29)

.

Интегрируя в пределах от давления до , получим

Или

(8.30)

В общем случае, если процесс переходит из одного режима истечения в другой, общее время истечения следует считать как сумму времени при обоих режимах.

Рассмотрим уравнение движения поршня

Итак, установлена точка (рис. 8.6), характеризующая начало движения поршня. Перейдем непосредственно к рассмотрения перемещения:

Рис. 8.6

Уравнение движения поршня:

(9.1)

Считая, что процесс изотермический, рассмотрим изменение состояния газа в полостях при движении в подпоршневой полости

;

.

Но

+ ,

где – - начальный объем, складывающийся из объемов трубопроводов и мертвого объема поршня.

Если

то = и .

Тогда

, (9.2)

где – давление в подпоршневой полости цилиндра

В полости выхлопа

Дифференцируя, получим

.

Или

.

Но

= /

Или

Отсюда

. (9.3)

Система уравнений (9.1, 9.2, 9.3) совместно с уравнениями расхода G при соответствующих режимах описывает поведение поршня пневмопривода в динамике.

Решая в аналитическом виде эту систему уравнений, к сожаление, не представляется возможным. Поэтому приходится прибегать к численным методам интегрирования.

Для этого от дифференциальных уравнений перейдем к уравнениям, записанных в малых приращениях. Решим уравнение 9.2 и 9.3 относительно dP₁ и dP₂ и перейдем к малым приращениям.

Тогда

. (9.4)

. (9.5)

Рассмотрим порядок решения задачи. Имеем систему уравнений (9.4-9.5), и уравнения (9.6, 9.7, 9.8 и 9.9)

Уравнение для докритического режима при заполнении камеры

G₁ = (9.6)

Уравнение для надкритического режимапри заполнении камеры

G_1кр = (9.7)

Уравнение для докритического режима при опорожнении камеры

G₂ = (9.8)

Уравнение для надкритического режима при опорожнении камеры

G_2кр = (9.9)

Далее определяем ускорение

Это уравнение можно решить иначе

Пусть закон движения имеет следующий вид (рис.9.1)

Рис. 9.1

Зададимся шагом интегрирования Δt

1) находим G1 и G2 в момент трогания поршня, характеризуемый равенством сил, действующих на него слева и справа

2) считая G1 и G2 постоянными на протяжении полушага и полагая Δх за это время равным «0», по формулам 9.4 и 9.5 находим давление (1) и (1) за время Δt/2

3) находим давления (1) и (1) середине первого шага

= Р₁₀+ (1); = Р₂₀+ (1)

4) считая давление на протяжении всего первого шага постоянным и равным (1) и (1), находим ускорение на протяжении первого шага

5) находим скорость в конце первого шага

6. находим путь за время Δt,

Δx₍₁₎ = V₁Δt /2

6) по формулам 9.4 и 9 5 считаем давление в конце первого шага P₁(1) и P₂ (1)

7) считаем G₁(2) и G₂(2) при давлениях в полостях в конце первого шага P₁(1) и P₂(1)

8) по формулам 9.4 и 9.5 полагая Δx опять равным «0», считаем приращение давлений Δ (2) и Δ (2) в полостях за время второго полушага

9) считаем давление в середине второго шага

(2) = P₁ (1) + Δ (2); (2) = P₂ (1) + Δ (2)

10) находим ускорение на протяжении второго шага

11) находим скорость в конце второго шага

.

12) находим путь в конце второго шага

13) далее расчетный цикл повторяется.

Пневматическое реле времени работает по опорожнению или заполнению объёма (рис.)

Рис.

Поиск по сайту: