 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Одночастичные и многочастичные функции распределения. Иерархия уравнений Боголюбова для многочастичных функций распределения
Как следует из предыдущего параграфа, вероятностный подход изучения систем, состоящих из огромного числа частиц, позволяет вычислить среднее значение величин как среднее по ансамблю. Однако как нетрудно видеть, микроскопическая фазовая плотность содержит огромное число исходных переменных. Для реального описания динамики системы представляется целесообразными значительно уменьшить количество информации о микросостоянии системы. Делается это следующим образом: количество переменных функции ρ можно уменьшить проинтегрировав по какой-то части из них.
Под одночастичной функцией распределения понимается следующая функция:
.
Соответственно, двучастичная функция распределения будет определяться выражением:
.
И N -частичная функция распределения:
.
Если f 1 проинтегрировать по координате
,
то получим обычное уравнение Максвелла.
Если по импульсу
,
распределение Больцмана.
Для того чтобы из одночастичной или двучастичной функции распределения можно было извлечь какую-нибудь информацию, для них нужно получить соответствующее уравнение. Их мы получим из исходного уравнения Лиувилля
,
.
Заменим переменные 
, 
.
,
Запишем функцию Гамильтона в следующем виде:
.
Взаимодействие частиц между собой называется центральным, если их энергия взаимодействия является функцией модуля разности координат.
.
Получим из этого уравнения уравнение для одночастичной функции распределения, проинтегрировав его по координатам и импульсам всех частиц кроме первой.
1. 
;
2. 
;
2.1. 
;
2.2. 
;
3. 
;
| |
| 4. |
4.1. 
;
;
4.2. 
;
Подставим полученные результаты:
.
Заменим,
– внешняя сила;
– плотность на объем.
Уравнение для одночастиной функции распределения:
.
Нетрудно видеть, что в правую часть уравнения для одночастичной функции распределения вошла двучастичная функция. Соответственно, если из исходного уравнения Лиувилля получить уравнение для двучастичной функции распределения, то в его правую часть войдет трехчастичная функция, в правую часть для трехчастичной функции распределения войдет четырехчастичная функция и т.д.
Таким образом, мы будем иметь бесконечную систему уравнений для одно-, двух-, трех-, многочастичных функций распределения. Такая система называется цепочкой или иерархией уравнений Боголюбова, и она полностью эквивалентна исходному уравнению Лиувилля.
Для того чтобы получить уравнение содержащее различной число переменных, необходимо сделать определенное предположение, упрощающее рассматриваемую модель.
Поиск по сайту: