Введение в кинетическую теорию. Математические методы описания неравновесных процессов

Основы физики неравновесных процессов

Физическая кинетика как раздел теоретической физики занимается изучением движения систем состоящих из очень большого числа частиц или элементов. При этом поведение системы очень большого числа частиц может существенным образом меняться с течением времени и такие процессы принято считать неравновесными, в этом случае все параметры описывающие систему существенно меняются с течением времени. Напротив, когда эти параметры практически не меняются, принято говорить о равновесных процессах. Эти процессы изучаются в разделе теоретической физики, которая называется статическая физика.

Рассмотрим основные подходы, используемые в физической кинетике, для описания движения системы состоящей из очень большого числа частиц. Поясним о каком количестве частиц идет речь. Например, в одном кубическом сантиметре воздуха при нормальных условиях содержится по порядку величины n­₀ ~ 10¹⁹ молекул.

Формально для такого числа частиц можно написать соответственное число дифференциальных уравнений движения, например уравнения Гамильтона:

,

i = 1, 2, 3, …, s; s = 3N.

Таким образом, нужно решить 2·10¹⁹ дифференциальных уравнений. При этом возникают следующие проблемы:

1. Для решения этой системы уравнений необходимо задать 10¹⁹ начальных условий для обобщенных координат и 10¹⁹ начальных условий для обобщенных импульсов. Где их взять?

2. Где взять такие вычислительные мощности?

3. Предположим, что мы задали все начальные условия. Предположим, что мы решим 2·10¹⁹ уравнений. В итоге мы получили 2·10¹⁹ обобщенных координат и импульсов в фиксированный момент времени:

,

,

i = 1, 2, …, s.

Дальнейшая проблема заключается в том, что делать с таким огромным объемом информации о координатах и импульсах.

Таким образом, вывод заключается в следующем: чисто механический подход при изучении таких систем реально не дает ни какой полезной информации о состоянии этой системы.

Выход заключается в единственном: необходимо пожертвовать частью информации и придумать такие показатели состояния системы, которые зависели бы от очень небольшого числа параметров.

Таким образом, при изучении динамики ограниченного числа частиц необходим совершенно другой подход. В частности физическая кинетика в качестве основного подхода использует статистические методы. Основная идея этих методов в том, что детальная информация о состоянии системы усредняется и в итоге состояние системы характеризуют некие средние показатели.

Пусть, например, E – энергия молекул в одном кубическом сантиметре воздуха, тогда ее среднее значение мы обязаны рассчитывать по следующей формуле:

Не трудно видеть, что записанная выше формула для среднего обязательно требует знания интеграла движения, то есть решения уравнений Гамильтона. Выше мы уже обсуждали все трудности такого подхода.

Единственный выход из сложившийся ситуации в использовании вероятностных или статистических методов для описания динамики огромного количества частиц. Такой подход предложил английский физик Гиббс. Он предложил ввести 6 N -мерное пространство, где N – число частиц, по осям которого будут откладываться 3 N осей обобщенных координат и 3 N осей обобщенных импульсов. Таким образом, состояние любой системы, состоящей из N частиц, в произвольный момент времени будет описываться точной, которую принято называть фазовой точкой. С течение времени эта точка может перемещаться в 6 N -мерном пространстве, образуя фазовую траекторию. Далее Гиббс предложил для каждой системы ввести понятие микро- и макросостояния. Под микросостоянием системы мы будем понимать положение фазовой точки в фазовой пространстве, или другими словами микросостояние определяет значение всех координат и импульсов в произвольный момент времени. Под макросостоянием какой-либо системы мы будем понимать усредненные значения физических переменных описывающие состояние данной системы (например: внутренняя энергия, объем, энтропия, давление и т.д.).

Гиббс фактически постулировал, что какое-либо макросостояние может быть реализовано или достигнуто с помощью бесчисленного числа микросостояний.

Если мы возьмем 10¹⁹ частиц и отличие их будет заключаться лишь в том, что у 3 или 10 или 100 молекул координаты и импульсы будут чуть чуть отличаться друг от друг, то, учитывая огромное число частиц, усреднение даст одно и то же макросостояние. Эта идея Гиббса и легла в основу вероятностного подхода для описания систем из огромного числа частиц.

Пусть у нас имеется очень большое число одинаковых систем, состоящих из большого числа частиц. При этом все системы находятся в одном и том же макросостоянии. Однако, каждая из этих систем может иметь свое отличное микросостояние. Совершенно очевидно, что каждое микросостояние будет иметь свою фазовую точку в 6 N -мерном фазовом пространстве. Такую совокупность одинаковых систем в различных состояниях называют ансамблем Гиббса.

Поскольку, как мы уже сказали, положение каждой системы будет характеризоваться своей фазовой точкой в 6 N -мерном фазовом пространстве, совершенно логичным представляется ввести понятие фазовой плотности таких точек

.

Поскольку фазовые точки не могут исчезать и рождаться, представляется достаточно очевидным, что микроскопическая фазовая плотность ρ будет подчинятся обычному уравнению непрерывности, которое широко используется в других разделах теоретической физики:

,

где под дивергенцией в 6 N -мерном фазовом пространстве мы будем понимать следующее:

,

где x_i – обобщенная координата или обобщенный импульс для соответствующей точки, а υ_i – скорость изменения обобщенной координаты или обобщенного импульса.

_,

Подставляя в уравнение непрерывности получаем:

_,

_,

_,

так как,

.

Отсюда,

,

,

.

Отсюда следует, что микроскопическая фазовая плотность не изменяется вдоль фазовой траектории.

В свою очередь это означает, что использование микроскопической фазовой плотности для описания микросостояния системы полностью идентична решению сходных уравнений Гамильтона. Подробные доказательства этого факта существуют в теории дифференциальных уравнений.

Далее Гиббс предложил, что вероятность нахождения системы в каком-либо микросостоянии определяется формулой:

,

где ρ – микроскопическая фазовая плотность, имеющая смысл плотности вероятности, а Г – фазовый объем 6 N -мерного фазового пространства.

.

Соответственно среднее значение любой физической величины, как это следует из теории статистики, будет определяться следующей формулой:

.

Данное выражение называется среднее по ансамблю.

Удобство этой формулы заключается в том, что для вычисления среднего значения величины E нет никакой необходимости знать решения уравнения Гамильтона.

В настоящее время физическая кинетика постулирует тот факт, что среднее по времени равно среднему по ансамблю:

.

Данное выражение носит название «эргодическая гипотеза».

Поиск по сайту: