Некоторое применение кинетического уравнения Больцмана к равновесным системам. Распределения Максвелла и Максвелла-Больцмана

Рассмотрим самую простейшую ситуацию, когда система частиц находится в равновесии, а среда является однородной и внешние силы отсутствуют. В этом случае функция распределения является функцией только импульса

,

тогда

.

Непосредственно из интеграла столкновения следует:

и более коротко, поскольку от t и ничего не зависит

.

Прологарифмировав, получим

.

Поскольку импульсы связаны законами сохранения импульса и энергии

,

,

то общее решение для можно представить в виде линейной комбинации функций: 1, , p ².

В результате имеем:

,

где – пять постоянных, которые запишем

,

,

.

В этом случае выражение для имеет вид

.

Пять постоянных величин a, b, и определяются из следующих пяти условий:

– условие нормировки

,

– определение средней скорости

,

– определение средней энергии

.

В итоге функция распределения имеет вид

– распределение Максвелла по импульсам.

В одномерном случае, поскольку

– одномерное распределение Максвелла.

График функции одномерного распределения Максвелла имеет вид:

Поскольку распределение Максвелла обладает в импульсном пространстве сферической симметрий, то есть зависит только от абсолютной величины вектора (зависимость от квадрата импульса), то представляет интерес записать его в сферической системе координат:

.

Интегрируя по θ и φ, получим плотность вероятности нахождения импульса в интервале от p до p + dp, независимо от направления

или

,

распределение Максвелла по модулю импульса.

График функции распределения Максвелла по модулю импульса имеет вид:

– наиболее вероятное значение импульса;

– среднее значение импульса;

– среднее значение кинетической энергии.

Поиск по сайту: