 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Экономический смысл производной
Пусть функция Q = Q (t) выражает объем Q произведенной за время t продукции и пусть требуется найти производительность труда в момент t 0. Рассмотрим период времени от момента t 0 до t 0 + Δ t. За этот период объем произведенной продукции составит Δ Q = Q (t 0 + Δ t) – Q (t 0). Средняя производительность за этот период равна Δ Q / Δ t. Тогда производительность труда в момент t 0 можно определить как предельное значение средней производительности при Δ t → 0:
Как видим, математически задача о производительности в момент t 0 не отличается от задачи нахождения мгновенной скорости движения.
Теорема 4. Производная Q (t 0) от объема произведенной продукции Q по времени t равна производительности труда в момент времени t = t 0.
В микроэкономике любую функцию у = f (х) называют суммарной величиной. Отношение суммарной величины к ее аргументу называют средней величиной и обозначают А f (х), т.е.
– средняя величина функции у = f (х).
Определение. Предельной или маржинальной величиной в микроэкономике называют производную от суммарной величины по ее аргументу и обозначаютМ f (х), т.е.
Если суммарная величина не имеет производной (например, у = f (х) задана таблично), то под предельной (маржинальной) величиной понимают отношение Δ y/ Δ х:
Вывод 1. Предельная (маржинальная) величина М f (х) есть скорость изменения суммарной величины относительно изменения ее аргумента.
Вывод 2. Предельная (маржинальная) величина М f (х) приближенно равна изменению суммарной величины при увеличении ее аргумента на одну «малую» единицу.
Рассмотрим примеры.
1) В микроэкономике суммарную стоимость всех используемых для выпуска продукции ресурсов называют общими затратами (издержками) производства и обозначают буквой С. Очевидно, что общие затраты зависят от объема выпуска продукции Q, т.е. имеет место функция С= С (Q) – функция общих затрат. Тогда
– средние затраты –
затраты в расчете на одну единицу объема выпуска продукции,
– предельные (или маржинальные) затраты.
Предельные (или маржинальные) затраты МС (Q) ≈ Δ С приΔ Q =1, т.е. предельные затраты – это дополнительные затраты на выпуск дополнительной единицы продукции.
2) Пусть Q = f (х) – производственная функция, т.е. зависимость максимального объема Q выпуска продукции от количества х используемого ресурса. Тогда 
– средняя производительность используемого ресурса (объем выпускаемой продукции в расчете на одну единицу используемого ресурса), а
– предельная производительность используемого ресурса. М f (x) ≈ Δ Q приΔ x = 1, т.е. предельная производительность используемого ресурса – это прирост объема выпуска продукции на дополнительную единицу используемого ресурса. Если используемый ресурс – трудовой ресурс (например, количество работников), то получим среднюю и предельную производительность труда.
3) Аналогично вводятся и другие средние или предельные величины в микроэкономике.
Таблица производных
Константа С
Функция у = х
|  Показательная функция  .
В частности, при а = е
| |||||||||
Степенная функция 
 В частности,
при n =1/2,
при n = – 1 | Логарифмическая функция 
В частности, при а = е | |||||||||
Тригонометрические функции
| Обратные тригонометрические функции
|
8.6 Основные правила дифференцирования
Теорема 5. Пустьu = u (x) и v = v (x) – дифференцируемые функции. Тогда справедливы следующие формулы:
 |
1.
 |
2.
 |
3.
 |
4.
Сформулируем эти правила более подробно.
1. Если y = u (x) ± v (x), то y ′ = u ′(x) ± v ′(x), т.е. производная от суммы или разности функций равна сумме или разности производных этих функций:
2. Если u = u (x), v = v (x), то (uv)′ = u ′ v + uv ′, т.е. производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первой из этих функций на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции.
3. Если y = c∙u (x), где c = const, то y ′ = c·u ′(x), т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
 |
4.
т.е. производная дроби (отношения двух функций) равна дроби, знаменатель которой есть квадрат знаменателя данной дроби, а числитель – разность между произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя.
Теорема 6. Если 
и 
– дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции 
существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной 
, т.е.
или 
или 
.
Теорема 7. Для дифференцируемой функции с неравной нулю производной, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е.
 |  | ||
Или
Вопросы для самопроверки
1. Что называется приращением аргумента и приращением функции в точке x 0?
2. Дайте определение производной функции y = f (x) в точке x 0
3. В чем состоит геометрический смысл производной функции?
4. Уравнение касательной к графику функции у = f (х) в точке х 0
5. Что можно сказать о поведении функции в точке, если в этой точке ее производная положительна, отрицательна, равна нулю.
6. В чем состоит физический смысл производной функции (движение материальной точки)?
7. В чем состоит физический смысл производной функции (случай произвольной функции)?
8. В чем состоит экономический смысл производной функции?
9. Напишите формулы дифференцирования основных элементарных функций.
10. Правило вычисления производной суммы двух функций
11. Правило вычисления производной произведения двух функций
12. Правило вычисления производной частного двух функций
13. Правило вычисления производной от произведения постоянной на функцию
14. Правило вычисления производной сложной функции
15. Правило вычисления производной обратной функции
16. Напишите основные правила дифференцирования функции.
17. Сформулируйте правила дифференцирования сложной и обратной функций.
Поиск по сайту: