 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Физический смысл производной
Предположим, что функция s = f (t) описывает закон движения точки по прямой как зависимость пройденного пути s от времени t. Пусть к моменту времени t 0 пройденный путь равен s 0 = f (t 0), а к моменту t 0 + Δ t он равен s = f (t 0 + Δ t). Тогда за промежуток Δ t пройден путь Δ s = s – s 0, а средняя скорость за время Δ t есть отношение 
. 
Предел этого отношения при Δ t → 0, т.е.
определяет мгновенную скорость точки в момент времени t 0 как производную пути по времени.
Теорема 2. Скорость движения материальной точки в любой момент времени t = t 0 равна производной от пути s по времени t в момент времени t = t 0.
 |
Если у = f (х) – произвольная функция, то.
В последней дроби знаменатель Δ х показывает, на сколько изменилось значение аргумента х, а числитель Δ y – на сколько при этом изменилось значение функции у = f (х). Тогда отношение Δ y/ Δ х показывает, на сколько быстро изменяется функция y относительно изменения ее аргумента x. Т.е.Δ y/ Δ х есть средняя скорость изменения функции у = f (х) относительно изменения ее аргумента x. В пределе при Δ х →0 получается
Теорема 3. Производная функции f (х 0) равна скорости изменения функции у = f (х) в точке х 0 относительно изменения ее аргумента x.
Пример 1. Рассмотрим физический смысл производной функции у = х 2 в точке x 0 = 1.
Решение. Т.к. 
, то в точке x 0 = 1 функция у=х 2 изменяется приближенно в 2 раза быстрее, чем в этой точке изменяется ее аргумент х.
Т.е. если в точке x 0 = 1 аргумент х увеличить на «малую» единицу, то в соответствующей точке у 0 = 1 значение функции приближенно увеличиться на 2 «малые» единицы.
Рис.6
Пример 2. Рассмотрим физический смысл производной функция спроса
в точке p= 1.
Решение. Имеем D (1)=6 и это означает, что по цене p= 1 ден.ед. потребители хотят и в состоянии приобрести 6 ед.товара. Легко подсчитать, что
Т.о. скорость изменения спроса по сравнению с изменением цены равна –3 ед.товара на 1 ден.ед. Поэтому при p= 1 ден.ед. по сравнению с увеличением цены спрос падает в 3 раза быстрее, чем растет цена.
Пример 3. Тело, выпущенное вертикально вверх, движется по закону S = S (t) = – t 2+4 t +5, где S – высота подъема, t – время движения. Требуется найти:
1) скорость движения тела в начальный момент времени;
2) скорость тела в момент соприкосновения с землей;
3) наибольшую высоту подъема;
4) высоту, с которой выпущено тело.
Решение. 1) Скорость движения 
Значит скорость движения тела в начальный момент времени v (0) = 4 м/с.
2) В момент падения высота S (t) = 0, т.е. – t 2+4 t +5=0. Решив квадратное уравнение, найдем его корни t 1 = -1, t 2 = 5. Поскольку время не может быть отрицательным, момент соприкосновения тела с землей t = 5 с. Поэтому скорость тела в момент соприкосновения с землей v (5) = –6 м/с.
Рис.7
3) Наибольшая высота подъема тела будет достигаться в тот момент времени t, когда скорость v (t) = 0 (в наивысшей точке тело останавливается). Поэтому –2 t + 4 = 0. Отсюда t = 2 с. и S max = S (2) = 9 м.
4) В начальный момент времени t = 0 с. Поэтому тело выпущено с высоты S (0) = 5 м.
Поиск по сайту: