Однородная стенка

Рассмотрим однородную стенку толщиной δ (рис.6). Коэффициент теплопроводности мате­риала постоянен и равен λ. На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры t₁ и t₂. Температура изменяется только в направлении оси х, перпендикулярной плоскости стенки. Следовательно, в этом случае температур­ное поле одномерно, а плоские изотермические поверхности располагаются перпендикулярно оси х.

Выделим внутри стенки на расстоянии х от поверхности слой толщиной dх, ограниченный двумя изотермическими по­верхностями. На основании закона Фурье (уравнение 6) для этого слоя можно написать плотность теплового потока

(11а)

Разделив переменные, получаем:

(11в)

Интегрирование последнего уравнения дает:

(11с)

Постоянная интегрирования С определя­ется из граничных условий, а именно: при х =0 t = t₁. Подставляя это значение в уравнение (11с), получаем:

С = t₁ (11д)

При х =0 t = t ₂, следовательно,

(11е)

Последнее уравнение позволяет определить неизвестную величину плотности теплового потока q, а именно:

(12)

Следовательно, количество тепла, переданное через 1 м² стенки в единицу времени с, прямо пропорционально коэффи-циенту теплопроводности λ и разности температур наружных поверхностей стенки Δt и обратно пропорционально толщине стенки δ. При этом следует особо отметить, что тепловой поток определяется не абсолютным значением температур, а их разностью - темпе­ратурным напором Δt = t ₁ - t₂. Уравнение (12) является расчетной формулой теплопроводности плоской стенки. Она связывает между собой четыре величины: q, λ, δ и Δt.

Зная из них лю­бые три, можно найти четвертую. Отношение Вт/м² К называется тепловой проводимостью стенки, а обратная величина м² К/ Вт - теп­ловым или термическим сопротивлением стенки. Последнее определяет падение температуры при прохождении через стенку удельного теплового потока, равного единице. Определив по формуле (12) величину плотности теплового потока, легко вычислить и общее количество тепла Q, пере­данное через плоскую стенку поверхностью F (м²) в течение времени τ

(12а)

Если в уравнение (11с) подставим значение постоянной С из уравнения (11д) и значение q из уравнения (12), то получим урав­нение температуры по толщине стенки распределения

(13)

Последнее является уравнением прямой линии. Следова­тельно, при постоянном значении коэффициента теплопровод­ности температура однородной стенки изменяется по закону прямой.

Дополнительные сведения. В действительности же вследствие зависимости от темпе­ратуры коэффициент теплопроводности является переменной величиной. Если это обстоятельство учесть, то получим иные, более сложные расчетные формулы. Для подавляющего боль­шинства материалов зависимость коэффициента теплопроводно­сти от температуры получается линейной, например λ = λ ₀(1 + bt). В этом случае на основании закона Фурье для плоской стенки имеем:

(14а)

Разделив переменные и произведя интегрирование, получим

(14в)

в уравнение (14в) граничные значения переменных, имеем

при х = 0 t = t₁ и и; (14с)

при х = δ t = t₂ и и; (14д)

Вычитая из второго равенства (14с) первое (14д), находим:

, (14е)

Откуда

(15)

Это и есть новая расчетная формула, которая по сравнению с формулой (12) несколько сложнее. В формуле (12) мы принимаем коэффициент теплопроводности постоянным и равным некоторому среднему значению λ_т. Теперь, приравнивая, правые части формул (12) и (15), имеем:

(16)

Следовательно, если λ_т определяется по формуле (6), т. е. по

среднеарифметическому из граничных значений температуры стенки, то формулы (12) и (15) равнозначны.

Уравнения температурной кривой в стенке получается путем решения квадратного уравнения (14в) относительно t и подставляя значения С из уравнения (14с), а именно:

(17)

Из этого уравнения следует, что в действительности температура стенки изменяется не по прямой, а по кривой. В некоторых случаях изменение температуры в стенке требуется рассчитывать по этой более сложной формуле (17).

Поиск по сайту: