 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Массивных тел)
|
Читайте также: |
Температурное поле при нагреве и охлаждении является нерав-номерным. Если поместить стальной слиток в нагретую печь, то сначала температура его наружных слоев будет повышаться быстрее, а внутренних медленнее - возникнет неравномер-ность распределения температуры. Через некоторое время положение изменится: внутренние слои будут нагреваться быстрее - температура начнет выравниваться.
Температурное поле в слитке, как и в других телах, являющееся функцией времени и координат, описывается дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье
(56)
Величина λ/с ρ = а называется коэффициентом температуропроводности и характеризует теплоинерционные свойства тела: чем выше λ, тем быстрее повышается температура при нагреве; чем больше объемная теплоемкость (сρ), тем медленнее идет повышение температуры.
Чтобы найти температурное поле t = t(х,у,z,τ) в любой момент времени, т. е. чтобы решить уравнение (56), надо знать распределение температуры в начальный момент (начальное условие), геометрическую форму тела и закон теплового взаимодействия между окружающей средой и поверхностью тела (граничное условие). Совокупность начального и граничного условий называют краевыми условиями.
Граничное условие можно сформулировать различными способами. Целесообразность того или другого способа определяется конкретными условиями нагрева или охлаждения: в одном случае легко задать температуру тела, в другом - тепловой поток, в третьем проще задать температуру среды. Различные виды граничных условий сформулированы ниже.
Нагрев при постоянной температуре поверхности.
Задание температуры поверхности тела в функции времени и координат tпов = t(х,у,z,τ) называется граничным условием I рода. Рассмотрим случай, для которого существует аналитическое решение: бесконечная пластина, у которой в начальный момент поле температур равномерное; температура на наружных поверхностях мгновенно поднимается до одинаковой величины и в дальнейшем остается постоянной tпов =сопst.
Нагрев пластины протекает так, как показано на рис.15. Температура центра пластины в начале нагрева поднимается медленно, затем быстрее и, по мере выравнивания температуры, замедляется снова. Видно (см. правую часть рисунка), что температурный градиент на поверхности пластины с течением времени уменьшается, поэтому тепловой поток q, проходящий через поверхность, уменьшается.
Рис. 15 Нагрев пластины при постоянной температуре
Поверхности (граничные условия I рода)
Нагрев при постоянной плотности теплового потока через поверхность .
Задание плотности теплового потока, проходящего через поверхность тела, в функции времени и координат qпов =q(х,у,z,τ) называется граничным условием II рода. Рассмотрим наиболее простой случай, когда нагревается бесконечная пластина, причем плотность теплового потока, проходящего через ограничивающие ее поверхности, не изменяется с течением времени. До начала нагрева температурное поле пластины равномерное. Нагрев при q = сопst встречается в методических, камерных печах, нагревательных колодцах.
Нагрев пластины протекает так, как показано на рис.16. Температурный градиент на поверхности, естественно, сохраняет постоянное значение в течение всего времени нагрева. Вскоре после начала нагрева температура во всех точках тела начинает изменяться с течением времени по линейному закону, а распределение температуры следует закону параболы.
Нагрев при передаче тепла конвекцией от среды с постоянной температурой.
Задание температуры окружающей среды tс и условий теплообмена α между средой и поверхностью в функции времени и координат называется граничным условием III рода. Так как, плотность теплового потока, поступающего на поверхность тела, равна
q = α (tс - t), (57)
а тепловой поток, поступающий с поверхности внутрь тела,
q = - λ grаd t, (58)
Рис.16 Нагрев пластины при постоянном тепловом потоке через ее
поверхность (граничные условия II рода)
то граничное условие III рода записывается так:
α (tс - t) = - λ grаd t (59)
Процессы нагрева, при которых целесообразно применять граничное условие III рода, встречаются весьма часто. Один из примеров - нагрев заготовки в печи с постоянной температурой.
Нагрев пластины протекает так, как показано на рис.17. В начале нагрева температура на поверхности поднимается быстрее, чем в центре. По мере уменьшения разности температур среды и поверхности удельный тепловой поток уменьшается, нагрев замедляется. В результате длительной выдержки температура по всему сечению пластины будет равна температуре среды.
Аналитическое решение уравнения (59) возможно лишь при простейших краевых условиях, но даже в этом случае формулы получаются весьма сложными, поэтому при технических расчетах нестационарной теплопроводности обычно пользуются специальными графиками и таблицами. Чтобы сократить число величин, описывающих нагрев, их группируют в безразмерные комплексы, пользуясь методами теории подобия.
Рис. 17. Нагрев пластины при передаче тепла конвекцией от среды с
постоянной температурой
Сформулируем задачу математически. За начало отсчета температур примем температуру среды. Тогда всякая другая температура будет выражаться как Для бесконечной пластины, температурное поле которой изменяется только вдоль оси х, уравнение Фурье (56) примет вид
(60)
начальное условие х = 0, J = Jн, (61)
граничное условие для симметричного нагрева, согласно уравнению (59):
(62)
Приведя выражения (60) - (62) к безразмерному виду, получим зависимость безразмерной температуры от безразмерных коэффициента теплоотдачи, времени и координаты:
, или
(63)
Безразмерный коэффициент теплоотдачи А называется критерием Био (Вi =). Безразмерное время называется критерием Фурье (Fо = ).
Для нагрева тел простейшей формы (бесконечная пластина, бесконечный цилиндр, шар) при граничных условиях III рода имеется аналитическое решение в виде зависимости (63), но, так как оно громоздко, в технических расчетах часто пользуются специальными графиками для безразмерной температуры центра
(64)
и поверхности
(65)
Графики такого типа, составленные Д. В. Будриным, приведены на рис.1-4.(см. приложение 1). Для определения безразмерной температуры при малых значениях критерия Фурье следует пользоваться графиками Будрина - Красовского рис.1-4 (см. приложение 2)
По этим номограммам можно решить две задачи – прямую и обратную. В соответствии с прямой задачей необходимо определить время нагрева т.е. критерий Fо, в который входит τ. Отсюда путь решения при заданных параметрах нагрева - вычисляем из условий нагрева критерии Вi и Θп, а по номограммам находим Fо, из которого вычисляем время нагрева τ.
При постановке обратной задачи по заданному времени нагрева, определить температуру нагрева. Отсюда путь решения
Т.е. если задано время нагрева τ, то можно вычислить критерий Fо. Из условий нагрева Вi вычисляем критерий Θ, из которого вычисляем температуру нагрева.
Поиск по сайту: