Задание для самостоятельного решения

Приближённое решение нелинейных уравнений.

Задача нахождения корня уравнения , где f(x) – непрерывная функция, состоит из двух этапов:

1. отделение корня, т.е. определение числового промежутка, в котором содержится один корень уравнения;

2. уточнение значения корня путём построения последовательности на основе соответствующего метода.

Отделение корня можно провести графически. Для этого уравнение удобно представить в виде и найти по чертежу абсциссу точки пересечения графиков и .

Величину определить графически с достаточной точностью графически невозможно. Поэтому следует выбрать такой числовой промежуток , для которого заведомо выполняется неравенство . Разные знаки функции при x=a и x=b, т.е. , свидетельствуют о наличии корня в промежутке .

Метод половинного деления.

Уточнение значения корня производится путём построения сходящейся последовательности , k=1, 2, …

За принимаются соответственно a, b.

Предполагая, что приближение известно, для нахождения выбираем последующие значения , в зависимости от знака произведения .

Если , то полагаем , .

Если , то полагаем , .

Решение уравнения считается найденным с точностью , если выполняется условие: .

Метод хорд.

Построение сходящейся последовательности производится по формуле:

, где С – неподвижный конец промежутка.

Если , то за неподвижный конец принимается а, тогда .

Если , то за неподвижный конец принимается b, тогда .

Метод касательных.

Уточнение значения корня производится путём построения сходящейся последовательности .

За принимается тот из концов промежутка , на котором выполняется условие .

Задание для самостоятельного решения.

Для уравнения : 1) отделить графически больший корень; 2) уточнить этот корень методом половинного деления с точностью ε=0,01; 3) уточнить этот корень методом хорд с точностью ε=0,01; 4) уточнить этот корень методом касательныхс точностью ε=0,01.