Метод деления отрезка пополам. Метод половинного деления

Решение нелинейных уравнений

Общие сведения

Общий вид нелинейного уравнения

f(x)=0, (6.1)

где функция f(x) – определена и непрерывна в некотором конечном или бесконечном интервале.

По виду функции f(x) нелинейные уравнения можно разделить на два класса:

- алгебраические;

- трансцендентные.

Алгебраическими называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией.

Трансцендентными называются уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и др.)

Решить нелинейное уравнение – значит найти его корни или корень.

Всякое значение аргумента х, обращающее функцию f(x) в нуль называется корнем уравнения (6.1) или нулем функции f(x).

Методы решения

Методы решения нелинейных уравнений делятся на:

- прямые;

- итерационные.

Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения квадратного уравнения, биквадратного уравнения (так называемых простейших алгебраических уравнений), а также тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений.

Однако, встречающиеся на практике уравнения не удается решить такими простыми методами, потому что

- вид функции f(x) может быть достаточно сложным;

- коэффициенты функции f(x) в некоторых случаях известны лишь приблизительно, поэтому задача о точном определении корней теряет смысл.

В этих случаях для решения нелинейных уравнений используются итерационные методы, то есть методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения, следует отметить изолированного, то есть такого, для которого существует окрестность, не содержащая других корней этого уравнения, состоит из двух этапов:

1) отделение корня, а именно, определение приближенного значения корня или отрезка, который содержит один и только один корень.

2) уточнение приближенного значения корня, то есть доведение его значения до заданной степени точности.

На первом этапе приближенное значение корня (начальное приближение) может быть найдено различными способами:

- из физических соображений;

- из решения аналогичной задачи;

- из других исходных данных;

- графическим методом.

Более подробно рассмотрим последний способ. Действительный корень уравнения

f(x)=0

приближенно можно определить как абсциссу точки пересечения графика функции у=f(x) с осью 0х. Если уравнение не имеет близких между собой корней, то этим способом они легко определяются. На практике часто бывает выгодным уравнение (6.1) заменить равносильным

f₁(x)=f₂(x)

где f₁(x) и f₂(x) – более простые, чем f(x). Тогда построив графики функций f₁(x) и f₂(x) искомый корень (корни) получим как абсциссу точки пересечения этих графиков.

Отметим, что графический метод, при всей своей простоте, как правило, применим лишь для грубого определения корней. Особенно неблагоприятным, в смысле потери точности является случай, когда линии пересекаются под очень острым углом и практически сливаются по некоторой дуге.

Если такие априорные оценки исходного приближения провести не удается, то находят две близко расположенные точки a, b , между которыми функция имеет один и только один корень. Для этого действия полезно помнить две теоремы.

Теорема 1. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [ a,b ], то есть f(a)f(b)<0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения

Теорема 2. Корень уравнения на отрезке [ a,b ] будет единственным, если первая производная функции f’(x), существует и сохраняет постоянный знак внутри отрезка, то есть

Выбор отрезка [ a,b ] выполняется

- графически;

- аналитически (путем исследования функции f(x) или путем подбора).

На втором этапе находят последовательность приближенных значений корня х₁, х₂,…,х_n. Каждый шаг вычисления x_i называется итерацией. Если x_i с увеличением n приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится.

Далее рассмотрим некоторые итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Метод деления отрезка пополам. Метод половинного деления.

Метод дихотомии.

Метод бисекции.

Один из простейших методов. Довольно медленный, однако он всегда сходится, то есть при его использовании решение получается всегда, причем с заданной точностью (разумеется, в рамках разрядности ЭВМ). Требуемые обычно большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является препятствием к применению этого метода, если вычисление значения f(x) несложно.

Суть метода в следующем:

В качестве х₀ принимаем середину отрезка [ a,b ]

Далее исследуем функцию f(x) на отрезках [ a,х₀ ], [ х₀,b ], точнее на концах этих отрезков. Тот из них, для которого выполняется теорема 1 содержит искомый корень. Отрезок, для которого теорема 1 не выполняется отбрасываем.

То есть, если f(a)f(x₀)<0, то b=x₀, [ х₀,b ]

если f(x₀)f(b)<0, то a=x₀, [ a,х₀ ]

Далее в качестве x₁ принимаем середину нового отрезка и так далее. Таким образом, после каждой итерации, отрезок, на котором расположен корень уменьшается вдвое, то есть после n итераций он сокращается в 2 ⁿ раз.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функции

или длина отрезка [ a,b ] на i -той итерации

не станет меньше по модулю некоторого заданного малого числа.

Поиск по сайту: