Метод пропорциональных частей

Метод хорд

Алгоритм метода хорд и метода дихотомии похожи, но метод хорд в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. Успех применения этого метода, как и метода дихотомии, гарантирован.

выпукла вниз выпукла вверх

В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближения к корню принимают значения х₁, х₂,…, являющихся абсциссами точек пересечения хорды АВ с осью абсцисс

Уравнение хорды АВ

Для точки пересечения хорды с осью 0х на первой итерации х=х₁ и у=0.

Далее рассматривая отрезки [ a,х₁ ], [ х₁,b ], оставляем тот из них для которого выполняется теорема 1, второй при этом отбрасываем.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока, как и для метода дихотомии,

или .

Для рассмотренного рисунка видно, что конец отрезка b является неподвижным.

Для случая

выпукла вниз выпукла вверх

неподвижным остается конец отрезка а.

Рассмотрим формулу метода хорд отдельно для каждого из случаев 1 и 2.

Для случая 1 (неподвижен конец b)

Для случая 2 (неподвижен конец а)

Для того, чтобы воспользоваться этими формулами без анализа графической картины функции f(x) необходимо следовать правилу

- неподвижен тот конец, для которого знак функции совпадает со знаком ее второй производной.

неподвижен a, x₀=b

неподвижен b, x₀=a

Естественно при этом требуется вычислить значении

При использовании этих формул условие окончания вычислений

или

Метод Ньютона.

Метод касательных

Алгоритм метода Ньютона схож с алгоритмом метода хорд. Отличие состоит в том, что на некоторой итерации вместо хорды проводится касательная к графику функции f(x) при x=a или x=b и отыскивается абсцисса точки пересечения касательной с осью 0х.

Уравнение касательных по формуле Тейлора

Для точки пересечения касательной с осью 0х на первой итерации х=х₁ у=0

Далее проверяем значения функции на концах отрезка [ a,х₁ ], [ х₁,b ] и оставляем тот из концов отрезка, для которого выполняется теорема 1.

На рисунке видно, что для данного поведения функции конец отрезка а остается неподвижным.

На рисунке

Неподвижным остается конец b.

Таким образом, также как и для метода хорд, можно написать формулу, связывающую между собой два соседних приближения корня

При этом в качестве х₀ принимается тот из концов отрезка [ a,b ], для которого выполняется условие: значение функции и значение второй производной одинаковы по знаку

x₀=а

x₀= b

Итерационный процесс продолжается до выполнения условий

или

Из анализа расчетной формулы метода Ньютона следует, что

1) должно быть ,

2) На каждой итерации объем вычислений больший, чем в рассмотренных ранее методах дихотомии и хорд, так как требуется вычислить не только но и . Однако скорость сходимости этого метода значительно выше, чем в других методах.

Уменьшить количество вычислений на каждой итерации позволяет видоизмененный метод Ньютона, для которого расчетная формула имеет вид

,

то есть для получения этой формулы предположили, что . Данное предположение допустимо, если мало изменяется на отрезке [ a,b ].

Теоретически это означает, что мы заменяем касательную в точках с абсциссой прямыми, параллельными касательной проведенной к точке с абсциссой .

Видоизмененный метод Ньютона избавляет нас от необходимости вычислять каждый раз значение производной , что весьма полезно, если является сложной.

Поиск по сайту: