Порядок выполнения работы. Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений

Цель работы

Ознакомиться с графическими методами решения уравнений и систем уравнений.

Основные теоретические сведения

Кроме аналитического способа решения уравнений f (x)=0 можно пользоваться и графическим способом. Графический способ наиболее эффективен для решения трансцендентных уравнений. При графическом способе для уравнения строится график y=f (x) и решением уравнения является точка пересечения графика с осью х при у =0. Если разбить уравнение на две произвольные части, то можно для каждой части построить график. В этом случае решением уравнения будет абсцисса точки пересечения графиков для этих частей. Такой способ может использоваться и для решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Порядок выполнения работы

Задание 1. Решить графически уравнение y =cos²(p x) на интервале [0;1].

Задание 2. Решить графически уравнение х ³-4 х ²-3 х +6=0.

Задание 3. Решить графически систему уравнений в диапазоне х Î[0;3] с шагом D х =0,2.

Задание 4. Решить систему уравнений согласно индивидуальному заданию.

3.1. Графическое решение уравнения y =cos²(p x) на интервале [0;1].

Решить графически уравнение y =cos²(p x) на интервале [0;1] значит найти все значения х внутри данного интервала, где функция у пересекает ось Х.

3.1.1.Провести табуляцию значений х и у (см. работу 2). В результате получим табл. 1.

3.1.2. Построение графика функции (см. работу 2)

В результате получим график (рис. 1). Из графика видно, что уравнение имеет единственный корень. Чтобы получить точное решение уравнения, нужно щелкнуть левой клавишей мыши по точке пересечения графика с осью ОХ. На графике появится текст (рис. 1). Здесь

Точка “0,5” – значение х

Значение “2,14617Е-09” – значение у.

Таблица 1

Рис. 1. График функции y=cos²(px)

3.2. Графическое решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

Найдем графическое решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

Для этого представим его в виде

х ³=4 х ²+3 х -6 (1)

и построим на одной диаграмме графики двух функций:

у ₁= х ³ левая часть уравнения (1)

у 2=4 х ²+3 х -6 правая часть уравнения (1)

Так как мы ищем корни кубического уравнения, число корней должно быть равно трем. Заранее значения корней неизвестны, поэтому сначала возьмем для построения графиков интервал х Î[-2;2], с шагом 0,4 и построим на этом интервале графики функций у ₁ и у ₂. Координаты точек х пересечения этих графиков дадут нам искомые значения корней.

Очевидно, что если корней должно быть три, то точек пересечения функций у ₁ и у ₂ тоже будет три. Если точек пересечения окажется меньше, нужно увеличить рассматриваемый интервал (например, построить график на интервале х Î[-3;3]).

3.2.1. Добавить новый рабочий лист.

3.2.2. Провести табуляцию значений аргумента х и функций у₁ и у₂ (см. работу 2).

В результате получим табл. 2

Таблица 2

3.2.3.Строим график функций у₁ и у₁ на одной диаграмме (рис. 2). Из графиков видно, что на рассмотренном интервале функции у ₁ и у ₂ пересекаются только два раза (корни х ₁=-1,2 и х ₂=1,2).

Рис. 2. Решение уравнения х ³-4 х ²-3 х +6=0.

3.2.4. Для нахождения третьего корня нужно увеличить диапазон решения. Из графика видно, что при х <-2 функции у 1 и у 2 расходятся.

Значит, решение нужно искать при х >2. Увеличим диапазон до х =4,8, т. е. х Î[-2; 4,8]:

а) продолжить табулирование аргумента х до ячейки А20;

б) скопировать формулу из ячейки В13 в ячейки В14:В20;

в) скопировать формулу из ячейки С13 в ячейки С14:С20;

г) построить график для этого случая. На этом графике функции у 1 и у 2 пересекаются трижды. Третий корень х ₃=4,4.

Поиск по сайту: