Рекомендации для обучения теме «Площадь»

I

Какой способ обучения доказательствам психологиче­ски хорош, а какой плох — это вопросы, которые следует решать эмпирически. Нужно сравнить различные способы обучения, учитывая те трудности, которые возникают при усвоении, запоминании, а также возможности их воспро­изведения и применения к решению других задач. Дело не только в овладении определенными приемами, но также и в ориентации в материале, открытости ума, развитии спо­собностей мыслить.

Это вопросы опыта и экспериментирования. Но следует не просто слепо сравнивать любые приемы обучения, а попытаться изучить эффекты применения противополож­ных приемов в свете нашей главной проблемы: проблемы структурной осмысленности или структурной произволь­ности в самом процессе обучения.

Здесь я намечу один из возможных, психологически осмысленных способов обучения, которым мог бы восполь­зоваться учитель.

Для многих — не для всех—детей желательно начинать с конкретных, реальных жизненных ситуаций, когда предлагаемая задача, скажем определение площади прямо­угольника, является вполне разумным требованием. Это можно сделать, например, рассказав им о двух фермерах, которые обмениваются двумя участками земли, или о фер­мере, который пытается узнать, сколько потребуется зер­на для определенной части его поля, — эти ситуации есте­ственно требуют определения площади.

Для таких детей весьма существенно, есть ли вообще какой-нибудь реальный смысл в постановке данной про­блемы. В качестве иллюстрации могу привести следую­щие примеры.

Двадцать пять лет назад родители девятилетней девоч­ки, мои друзья, сказали мне, что она испытывает большие затруднения в учебе. Дела обстояли настолько плохо, что учитель девочки посоветовал родителям обратиться за со-

ветом к психиатру. Родители привели девочку к профессо­ру Z, известному психиатру и психологу, в то время заве­довавшему психиатрической клиникой. С грустью они сообщили мне о том, что он провел тестирование и посове­товал забрать ее из школы — столь низким был уровень ее развития. Он предложил поместить ее в дом для умственно отсталых детей и в заключение предупредил родителей, что если они не последуют его совету, то ребенок станет неуп­равляемым и, возможно, даже преступником.

Родители не могли последовать такому совету. Они чув­ствовали, что заключение психолога о их ребенке неспра­ведливо: девочка часто проявляла отличный здравый смысл, особенно в реальных жизненных ситуациях, инте­ресовалась искусством. Однако она испытывала трудности в учебе, особенно в арифметике. Низкие результаты тести­рования интеллекта, полученные профессором, вполне согласовывались с ее плохой школьной успеваемостью.

Родителей интересовало мое мнение. Зная ребенка с младенчества, зная, что она была прекрасным здоровым ребенком, я предложил поговорить с ней. Вначале я попро­сил девочку рассказать мне, какие вопросы задавал ей про­фессор Z. Это были обычные вопросы, в том числе и ариф­метические задачи. Я переменил тему разговора. Я расска­зал ей о конкретных событиях, которые якобы произошли в семье соседей, где мать собиралась купать ребенка, не имея подходящих емкостей. Девочка очень заинтересова­лась рассказом, и, когда в драматический момент я задал вопрос: «Что делать?», — она реагировала живо и разумно. И это несмотря на тот факт, что я выбрал вопросы, тре­бующие не только выполнения тех операций, которые про­верял профессор Z, но также и других, более трудных операций. Девочка не могла решать задачи, смысла кото­рых она не понимала. Однако если проблема возникала в конкретной ситуации, если сама ситуация требовала ре­шения, она не испытывала каких-либо особых трудностей, часто демонстрируя присущий ей здравый смысл.

Один из моих друзей, антрополог из Любека, долгое время жил в одном племени в Центральной Африке. По возвращении он показал мне прекрасные вещи, которые привез с собой, и добавил: «Но я должен получить еще не­сколько отличных вещиц. Некоторые из мужчин племени, с которыми я дружил, согласились сделать и прислать мне хижину аборигена, со всей обычной утварью и художест­венными украшениями. Я хотел выставить их в своем му-

зее Они согласились сделать все вещи в треть их обычной величины, так как у меня нет места для экспонатов в пол­ную величину. Я хотел бы показать их тебе, когда они прибудут. Они тебе понравятся».

Несколько месяцев спустя вещи прибыли. Все было в порядке, все предметы были в три раза меньше их обыч­ной величины. Но моего друга удивило несоответствие не­которых деталей. Котелок для приготовления пищи и дере­вянная подставка, которую кладут под голову во время сна, имели натуральную величину.

Антрополог написал письмо одному из своих друзей, миссионеру, который жил с этими людьми, и попросил его по-дружески пожурить их и заставить прислать те несколь­ко предметов в нужной пропорции. Пришлось долго ждать ответа. Он гласил: «Я не смог заставить этих людей вы­полнить заказ. Они настаивали на том, что если человек и может жить в такой маленькой хижине, то было бы бес­смысленно делать горшок для приготовления пищи (н без того достаточно небольшой по размеру) таким маленьким, Так же обстояло дело и в отношении деревянной подстав­ки». Миссионер писал, что он не нашел способа убедить аборигенов выполнить заказ.

Еще один пример: антропологу, работавшему над со­ставлением грамматики языка аборигенов, оказывал по­мощь туземец, который переводил ему различные истории и предложения. Однажды ассистенту нужно было переве­сти какое-то предложение, но антрополог никак не мог добиться от него перевода. Оказавшись в затруднительном положении, он попытался выяснить, какие слова или грам­матические окончания вызывают трудности. И лишь не­которое время спустя туземец выпалил: «Как я могу пере­вести это ваше предложение: «Белый человек убил сегод­ня шесть медведей»? Это чепуха. Белый человек не может убить шесть медведей в один день».

В этих примерах операции, сама цель рассматриваются в тесной связи с функциональным смыслом всей ситуации, их не абстрагируют от той функции, которую они выпол­няют.

Короче, как я уже говорил об этом в исследовании о мышлении примитивных народов ¹, существует большое

¹ См.: Wertheimer M. Über das Denken der Naturvölker, Zahlen und Zahlgebilde.—"Zeitschrift für Psychologie", 1912, Vol. 60, S. 321—378; или Wertheimer M. Drei Abhandlungen zur Ge­stalttheorie. Erlangen, Philosophische Akademie, 1925.

различие между выполнением задания, которое возникает в реальной жизненной ситуации или соответствует ей, и выполнением задания, не связанного ни с какой реальной ситуацией пли даже противоречащего данной ситуации и имеющего смысл лишь при условии, если полностью абст­рагироваться от его роли в реальной жизни.

Но, как я уже отмечал в этой работе, было бы ошибкой делать вывод, что такое неумение абстрагироваться свиде­тельствует об отсутствии способности мыслить. Если кто-то отказывается производить абстракцию, которая кажется ему бессмысленной, если он не может или не хочет иметь дело с такими абстракциями, то это может свидетельство­вать лишь о том, что он серьезно рассматривает конкрет­ную ситуацию. Конечно, в нашей науке абстрагирование от реальности является очень важным инструментом. Но неспособность или отказ выполнять действия, если непо­нятен действительный смысл научного абстрагирования,— это признак не плохого, а хорошего мышления. Неприня­тие тех или иных абстракций само по себе не является критерием оценки мышления. По-настоящему мыслящие люди отказываются, а иногда и не могут выполнить зада­ния, которые предполагают совершенно бессмысленные абстракции, они восстают против них.

Поэтому некоторых детей следует знакомить с геомет­рическими задачами с помощью жизненных ситуаций, в которых само задание имеет для них реальный смысл.

Но есть много детей — и взрослых, — которые не нуж­даются в такой помощи. Их легко заинтересовать «теоре­тическими» проблемами. Они воспринимают проблему как интересное задание, как побуждение к творческой деятель­ности. И, изучая геометрию, они могут и даже жаждут применить то, что они приобрели в результате понимания, к другим геометрическим и жизненным проблемам. Край­ним случаем такой установки являются, конечно, глупые попытки применять такие методы повсюду независимо от того, являются ли они подходящими в данной ситуации.

Я думаю, что задача образования состоит в том, чтобы развивать у детей «теоретический» интерес первого рода. Он открывает им удивительное царство кристальной ясно­сти и внутренней согласованности. И я полагаю, что фор­мальное образование с полным основанием считало, что математика очень важна для развития мышления, тогда даже в практических ситуациях человек не так легко ста­новится жертвой нечеткого, путаного мышления.

II

1. Обращавшиеся ко мне преподаватели математики неоднократно говорили о том, что их не удовлетворяют традиционные методы обучения. Они говорили также, что читали или слышали о моих исследованиях н чувствовали, что они могут помочь им преподавать более осмысленно. Но они не знали, как это можно сделать, как можно разра­ботать конкретную методику обучения в свете гештальт-теории.

Я склонен считать, что основные позитивные выводы в отношении обучения уже содержались в предыдущих гла­вах этой книги. Здесь я попытаюсь изложить один метод, который отвечает моим теоретическим построениям. Но я сразу же скажу: есть хорошие учителя, которые поступа­ют сходным образом, интуитивно чувствуя, каким должно быть обучение. Большая часть того, что я предложу, нико­им образом не является совершенно «новым». Но мой ме­тод, конечно, во многом отличается от тех методов, кото­рые применяются во многих школах.

Существует мною хороших методов, и иногда различ­ные дети нуждаются в разных (хотя и структурно сход­ных) подходах. Легче всего, конечно, учить одного ребен­ка. Здесь я буду говорить о таком обучении. Однако вполне возможно, а иногда и весьма желательно использовать ме­тод группового мышления в классе.

Мой собственный опыт преподавания свидетельствует о том, что лучше всего — особенно поначалу — как можно меньше показывать, «учить». Желательно также, насколь­ко возможно, не давать готовых ответов. Ребенок должен сам прийти к задачам, которые он будет пытаться решить. Пусть он столкнется с проблемами, пусть получит помощь от преподавателя, когда она ему понадобится, но пусть он не просто копирует или повторяет показанные действия. Я бы по возможности избегал всего, что может привести к механизации обучения, к установке на механическое по­вторение.

Проиллюстрирую сказанное на примере определения площади какой-либо фигуры. Важнее всего, чтобы ребе­нок, оказавшись в структурно осмысленной проблемной ситуации, сам нашел свой метод. Если ребенок теряется и говорит: «Я не могу этого сделать», то часто достаточно просто сказать: «Постарайся, возможно, ты и найдешь вы­ход». А если это не помогает, можно дополнительно спро-

сить: «Что тебе мешает?» И только в том случае, если эти меры не помогут, следует оказать конкретную помощь.

2. Осмысленный способ введения понятия «величина площади» прямоугольника. Я бы не начинал с объяснения того, как определить площадь прямоугольника, в особенно­сти с конкретного определения. Потому что смысл поня­тия «величина площади» может быть совершенно непоня­тен ребенку. Я бы скорее начал с ситуации, которая осмыс­ленно связана с проблемой «больше» или «меньше».

Например, я дал бы ребенку два прямоугольника с одинаковыми основаниями, один из которых явно выше другого. И я бы спросил: «Как можно точно определить,

Рис. 171

насколько второй прямоугольник больше первого?» Есте­ственно, не проводя вспомогательной линии. Я бы вырезал из картона два прямоугольника и положил рядом, чтобы ребенок мог прийти к мысли положить один прямоуголь­ник на другой, совместить их и увидеть остаток.

Затем я бы обратился к реальному измерению. «Эта фигура, как видите, имеет 9 дюймов в ширину, такую же ширину имеет и вторая фигура. Далее, высота одной фигу­ры равна 5, а второй - 6 дюймам». И я вначале обрадовал­ся бы, услышав, что ребенок просто говорит: «Один пря­моугольник больше другого на одну полоску или на одну полоску, ширина которой равна 9 дюймам, а высота — 1 дюйму».

2а. Здесь я могу прервать рассказ. Для многих детей эта абстрактная процедура является, как было сказано выше, вполне доступной. С другими детьми желательно начинать с проблемной ситуации, в которой они смогут почувствовать конкретный смысл задачи. Например, я мог бы начать со следующей истории: «Жил-был фермер (или еще лучше для некоторых детей добавить: «По соседству, несколько дней тому назад»), который хотел переехать в другое место. Он нашел фермера, который готов был обме­няться с ним участком. Обе фермы были во многом похо-

жи и были почти одинакового размера. Договариваясь об обмене, фермеры хотели точно определить, действительно ли одна из ферм больше другой, и насколько. Вот рисунок этих двух ферм.

Рис. 172

А теперь скажи, как мы можем узнать, какая из ферм больше?»

Вместо ответа ребенок может задать вопрос, например: «А хватит ли у фермера, у которого ферма меньше, денег, чтобы уплатить разницу?» Но в большинстве случаев мож­но легко поставить ребенка перед проблемой сравнения этих фигур.

2б. Если это не помогает, можно попробовать еще одну конкретную ситуацию, предполагающую более конкретную помощь. «Ты сидишь на полу с другим мальчиком, и каж­дый из вас строит стенку из кубиков. Ты уже использовал все свои кубики, а у другого мальчика еще целая куча неиспользованных кубиков. Тебе очень хочется построить свою стену на один кубик выше, и ты просишь у другого мальчика несколько кубиков. Он отказывается дать их тебе, и ты ему говоришь: «Мне нужно не много, у тебя очень много кубиков, которые тебе не нужны, почему ты не можешь дать мне несколько?» Тот сердито отвечает: «Сколько тебе нужно?» Ну, так сколько кубиков тебе по­надобится, если ты хочешь построить стену на один или два кубика выше?»

Некоторых учителей может испугать смешение трех­мерных и двумерных объектов. Можно, конечно, начать с картонных квадратиков, но, по-моему, это не имеет значе­ния, лично я предпочитаю пользоваться кубиками.

3. Как прийти к «формуле». При помощи таких зада­ний — и еще лучше, если только возможно, при помощи чисто абстрактных заданий — я бы постарался добиться, чтобы ребенок сам пришел к формулировке: «Мне нужен еще один ряд (или еще два ряда и т. д.). Мне нужно столь-

ко-то рядов, я число рядов должно быть умножено на чис­ло кубиков в одном ряду».

Рис. 173

Затем я спросил бы: «Сколько маленьких квадратиков во всей этой фигуре?» (Или: «Чему равна вся площадь?») Ребенок мог бы тогда ответить: «Нужно измерить основа­ние, нужно измерить высоту и перемножить их».

4. Здесь я позволил бы ребенку обнаружить, что можно действовать и так, и эдак независимо от того, какую сторо­ну принять за основание.

Рис. 174

Часто приятно наблюдать, как ребенок радуется, когда узнает, что возможны оба варианта. При определенных ус­ловиях обнаружение того, что аb = bа, является подлинным открытием, подобным инсайту.

5. Задачи на обсуждаемую тему. Я бы не стал продол­жать вычисления на слишком большом числе других при­меров этого типа, опасаясь, что ребенок может забыть структурную формулу. Вместо этого я дал бы вначале не­сколько интересных различных примеров. И я бы привел еще один пример, к которому описанный метод неприме­ним, ожидая, пока ребенок сам не сделает вывод: «Я не могу решить эту задачу тем же способом, здесь нужно со­считать маленькие квадратики». Я бы дал задания, напри-

мер, на определение размера комнаты или двух столов или даже на определение кубического объема комнаты или объема трехмерной коробки, заполненной кубиками. В этой задаче внимание сосредоточивается на количестве кубиков в одном квадрате, которое нужно умножить на высоту, а не просто на умножении сторон.

6. Площадь параллелограмма. Лучше всего просто спросить: «Какова площадь этой фигуры? Можешь ли ты ее определить?» Как и в случае с прямоугольником, неко­торые дети, немного подумав и при поддержке учителя, са­ми находят решение.

Если ребенок не продвигается вперед, можно спросить; «Что тебе мешает? Почему это так трудно сделать?» На что ребенок может ответить: «Трудность связана вот с этими концами. Если бы они были такими же, как у пря­моугольника, все было бы хорошо».

6а. В некоторых случаях полезно дать следующую фигуру:

Рис. 175

Иногда дети отвечают: «О, посередине все хорошо, но...»

6б. Или: «Вот домик из кубиков с прямоугольной верх­ней частью. Мне хотелось бы сделать для него красивую крышу. Вот у меня кусочек красно-коричневого картона. Может быть, его можно использовать. Длина картона та­кая же, как и у верхней части домика, но, к сожалению, она имеет форму параллелограмма. Можешь ли ты сделать из нее крышу нужной формы?»

Возможно, лучшим приемом (поскольку здесь помощь меньше) был бы следующий: «Вот картонный параллело­грамм. Что нужно сделать, чтобы получить из него прямо­угольник?»

6в. Альтернативный прием. После того как я просто поставил задачу найти площадь параллелограмма и не до­бился результата, я кладу перед ребенком совершенно другую фигуру, у которой есть два структурных наруше­ния, одно — явно неподходящее добавление, другое — вы­емка или пустота (см. рис. 176).

Для некоторых детей переход от такого структурно бо­лее легкого задания к явно непохожему случаю с парал­лелограммом без дополнительной помощи оказывается трудным или непосильным. Но есть дети, которые, решив эти задачи, возвращаются к параллелограмму, улыбаются и решают задачу.

Рис. 176

6г. При необходимости я ввел бы задачу из реальной жизни: «Механик, делающий металлические плиты (пря­моугольной формы), пользуется следующим способом опре­деления количества металла, который ему понадобится для прямоугольника определенного размера. (Здесь сле­дует обучение определению площади прямоугольника.) Однажды его просят сделать плиту следующей формы.

Рис. 177

Он хотел бы знать, сколько понадобится металла в дан­ном случае. (Или аналогичным образом при определении веса и т. п.)

Вначале механик растерялся. «Как же мне это уз­нать?» — спрашивает он. Но вскоре он улыбнулся. Он на­шел нужный способ. Как же он сделал это?»

Но добавлю, что многим детям я бы не стал давать подобную задачу. Для многих из них все и так слишком очевидно. Они не нуждаются в столь длинном вступлении,

которое хотя и может быть занятным, но недооценивает их возможности.

Эти рисунки очень помогают схватить структурный ха­рактер «отклонения», «нарушения», «пробела», «здесь тре­буется именно то, что является ненужным добавлением там».

Здесь я бы показал фигуру, для которой этот способ не подходит, предоставляя ребенку возможность самостоя­тельно разобраться, в чем тут дело.

Рис. 178

6д. Еще один прием. В некоторых случаях бывает необ­ходимо использовать фигуру, содержащую один или два ряда прямоугольников с треугольниками на концах.

Рис. 179

7. Прием проведения вспомогательных линий. В боль­шинстве случаев, которые я наблюдал, такие приемы дей­ствительно приводили к инсайту, озарению: преобразова­нию параллелограмма в прямоугольник. И только в тех случаях, когда все эти формы помощи не приводили к ре­зультату, я показывал ребенку те конкретные действия, которые он должен был найти.

Но я не начинал бы с того, что следует опустить два перпендикуляра. Вначале я сказал бы, что для получения прямоугольника необходимо исправить два конца. Затем я снова подождал бы и посмотрел, не пришел ли ребенок самостоятельно к следующему действию.

Или я спросил бы: «Как можно превратить его в пря­моугольник на одной стороне?» Если бы это не помогло, я сначала отрезал бы левый конец и, подождав немного, спросил: «А что делать с другой стороной? Есть ли у нас прямоугольник на другом конце?»

И если бы по-прежнему не последовало никакой догад­ки, я провел бы все необходимые линии и предложил бы две следующие фигуры.

Рис. 180

Если, бы ребенок не реагировал и на этот раз, я бы спро­сил: «Что можно сказать о размерах этих двух фигур?» И затем: «Из каких частей состоит параллелограмм? А прямоугольник?»

8. После решения: замечания о повторении и механи­ческих упражнениях. Достигнув цели — определения пло­щади параллелограмма, — я бы предложил ученику для решения несколько фигур, отличающихся по своему внеш­нему виду. Но я не заставлял бы его повторять решение на слишком большом числе упражнений. Я скорее дал бы ему несколько задач, требующих определения площади, предложив различные и как можно более интересные фи­гуры, и включил бы в них задачи, которые нельзя решить этим способом. И без какого-либо формального вступления, как бы невзначай, я включил бы задачу на определение площади трапеции и треугольника.

Рис. 181

Бывает, что ребенок без дополнительного объяснении успешно решает эти задачи. Если же это ему не удается, то можно использовать приемы, подобные описанным выше.

Можно предположить, что смесь столь различных задач будет слишком большой нагрузкой для детского ума. Кое-кто может сказать, что ребенок некоторое время должен заниматься только задачами на определение площади пря­моугольника, а затем в течение значительного времени — только параллелограмма. И будет считать включение дру­гих, даже «невозможных» задач психологически опасным приемом на том основании, что, прежде чем переходить к новой задаче, следует вначале освоить и многократно по­вторить старую.

Согласно моему опыту, это справедливо лишь в отноше­нии некоторых детей, например очень робких. В таких слу­чаях следует действовать более медленно. Важно не идти вперед до тех пор, пока не почувствуете, что ребенок осво­ился с материалом. (Но повторение само по себе не обяза­тельно приведет к усвоению.) Для многих детей желате­лен прямо противоположный прием. Очень скучно вновь и вновь решать задачи, в которых надоедливо повторяются вещи, которые, как чувствует ребенок, он уже уловил, и это часто толкает ребенка на бездумные действия. Я пред­полагаю, что в этом одна из причин того, что так много­детен приобретают в школе сильное отвращение к ариф­метике и геометрии. Если же пользоваться описанной здесь методикой, то дети получат удовольствие от своей деятельности, своих открытий.

III

Доказательство

1. Основные трудности. Переход к геометрическому доказательству, к «демонстрации» должен быть весьма осторожным. Вполне возможно, что ребенок может не уло­вить смысла «доказательства». Это серьезная проблема. И даже после того, как дети несколько раз правильно реа­гируют на доказательство, можно сомневаться в том, что они действительно понимают его смысл так, как его пони­мает геометр. Обычно оно остается для них забавным, не совсем понятным методом, который применяют взрослые. Интересы взрослого, аксиоматически мыслящего человека им непонятны. И невозможно себе представить, что до по-

лучения дальнейших знаний и более «конкретного» пони­мания множества различных геометрических проблем они смогли бы осмыслить цели математика, которые делают эту процедуру осмысленной.

Тем не менее существуют разумные способы, помогаю­щие детям понять необходимость некоторых «доказа­тельств», даже если традиционные доказательства в дей­ствительности понимают лишь немногие.

2. Подход к доказательству. Доказательство нельзя просто навязать ребенку. В крайнем случае его можно ввести следующим образом: «Иногда мы не можем «отре­зать лишнее» или «заполнить пробел» в прямом смысле этих слов. Как же в таких случаях убедиться, что мы по­ступили правильно?» Неплохо было бы сделать рисунок, где равенство площадей не является очевидным, и ска­зать: «Как убедиться в том, что метод, которым ты поль-

Рис. 182

зовался раньше, подойдет и в этом случае?» На это ребенок может ответить: «Если эти две косые линии параллельны, то тогда можно с полным правом поступать так, как мы поступали раньше». И если ребенка затем спросить: «По­чему? Почему ты так в этом уверен?» — он может ответить: «Важно, чтобы то, что я хочу убрать с левой стороны, точ­но соответствовало тому, что находится справа». Если вы потом спросите: «Как ты можешь доказать это? Что это значит?» — вы можете получить ответ: «Нам нужно, что­бы эти два треугольника были равны». Вопрос: «Можешь ли ты доказать, что они равны, если эти линии параллель­ны?» Ответ: «Они равны, потому что их проводили так, чтобы они были равными». Вопрос: «Можешь ли ты де­тально показать, что существенно для их равенства?»

И тогда перед ребенком можно поставить проблему, как доказать конгруэнтность, или на его языке равенство, треугольников, используя равенство линий и углов.

Ребенок может в этом случае воспользоваться некото­рыми общими теоремами, которые он изучал раньше, на-

пример теоремой о равенстве соответственных углов. Или прийти к этим проблемам именно в данном контексте.

Мы не склонны утверждать, что ребенок должен всегда, во всех случаях искать доказательство сам. (Хотя распро­страненный аргумент, что это потребует слишком много времени, кажется мне не вполне верным, не решающим.) Нет возражений против того, чтобы учитель сам демонст­рировал все доказательство. Но в таком случае ему следу­ет делать это структурно правильным способом, чтобы способствовать действительному пониманию иерархии фаз доказательства.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

Поиск по сайту: