Оптика. Атомная и ядерная физика

Скорость света в среде ,

где с – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления среды.

Оптическая разность хода двух световых волн ,

где и - геометрические пути световой волны в среде с показателем преломления n₁ и n₂.

Условие интерференционных максимумов (m=0,1,2,...).

Условие интерференционных минимумов (m=0,1,2,...),

где λ – длина волны падающего света.

Ширина интерференционной полосы ,

где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии от экрана, параллельного обоим источникам, при условии >d.

Оптическая разность хода световых волн, возникающая при отражении монохроматического света от тонкой пленки,

,

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; φ – угол падения луча.

Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем)

(m=1,2,3,...),

где m – номер кольца; R – радиус кривизны линзы.

Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в проходящем)

(m=1,2,3,...).

Значению m=0 соответствует r=0, т.е. точка касания линзы и пластинки.

Условия дифракционных максимумов и минимумов от одной щели, на которую свет падает нормально:

max – (m=1, 2, 3,...),

min – (m=1, 2, 3,...),

где а – ширина щели; φ – угол дифракции; m – порядок спектра; λ – длина волны.

Условия главных максимумов, главных минимумов и дополнительных минимумов дифракционной решетки, на которую свет падает нормально:

(m=0, 1, 2,3,...) – гл. max,

(m=0, 1, 2,3,...) – гл. min,

(k'=0, 1, 2,3,..., кроме 0, N, 2N,…) – доп. min,

где d – период дифракционной решетки; N – число штрихов решетки.

Период дифракционной решетки ,

где N₀ – число щелей, приходящихся на единицу длины решетки.

Закон Малюса ,

где – интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; – интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; α – угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора; – интенсивность естественного света.

Закон Брюстера

,

где – угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным; – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.

Закон Стефана-Больцмана

,

где R₀ – энергетическая светимость единицы поверхности абсолютно черного тела; σ – постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Закон смещения Вина

,

где – длина волны, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости черного тела; b – постоянная Вина.

Второй закон Вина. Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости черного тела

,

где С=1,3·10^-5 Вт/м³·К⁵.

Энергия кванта ,

где h – постоянная Планка; ν – частота падающего света; с – скорость света; λ – длина волны падающего света.

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта e= hn=А+Т_max,

где e= hn - энергия фотона, падающего на поверхность металла; А – работа выхода электрона из металла; Т_max – максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов.

Если энергия фотона hn<5 кэВ, то ,

где m₀ – масса покоя электрона; (U₀ – задерживающее напряжение).

Если hν > 5 кэВ, то .

«Красная граница» фотоэффекта для данного металла

,

где λ₀ – максимальная длина волны излучения (ν₀ – соответственно минимальная частота), при которой фотоэффект еще возможен; А – работа выхода электрона из металла.

Энергия кванта света (фотона) определяется формулой

ε=hν,

где h=6,625·10^-34 Дж·с – постоянная Планка; ν – частота колебания.

Количество движения фотона ,

масса фотона ,

где с – скорость света в вакууме.

Величина светового давления ,

где Е – количество энергии, падающей на единицу поверхности за единицу времени; ρ – коэффициент отражения света.

Изменение длины волны рентгеновских лучей при комптоновском рассеянии определяется формулой

,

где m – масса электрона; φ – угол рассеяния.

Согласно первому постулату Бора, движение электрона вокруг ядра возможно только по определенным орбитам, радиусы которых удовлетворяют соотношению

,

где m – масса электрона; v_n – его скорость на n-й орбите; r_n – радиус этой орбиты; h – постоянная Планка; n – любое целое число (квантовое число).

По второму постулату Бора частота излучения, соответствующая переходу электрона с одной орбиты на другую, определяется формулой

,

где n и m – номера орбит (n>m), W_n и W_m – соответствующие им значения энергии электрона.

Формула, позволяющая найти частоты ν или длины волн λ, соответствующие линиям водородного спектра, имеет вид

,

где с – скорость света в вакууме; R – постоянная Ридберга, равная 1,097·10⁷ м^-1; m и n – номера орбит.

Количество атомов радиоактивного вещества, распадающихся за время dt, пропорционально количеству наличных атомов и определяется соотношением

,

где λ – постоянная радиоактивного распада. Интегрируя, получим

,

где N – число их по истечении времени t; N₁ – число атомов, имевшихся в момент времени t=0.

Период полураспада Т и постоянная распада λ связаны соотношением

.

Величина, обратная постоянной распада , называется средним временем жизни радиоактивного атома.

Энергия связи ядра любого изотопа определяется соотношением

,

где ΔМ – разность между массой частиц, составляющих ядро, и массой самого ядра. Очевидно,

,

где М – массовое число; Z – порядковый номер изотопа; М_п – масса протона; М_н – масса нейтрона; М_я – масса ядра изотопа. Так как

М_я=М_А-Zm,

где М_А – масса изотопа и m – масса электрона, то предыдущее уравнение можно заменить следующим:

,

где - масса изотопа водорода ; М_А – масса данного изотопа.

Изменение энергии при ядерной реакции определяется соотношением

,

где - сумма масс частиц до реакции; - сумма масс частиц после реакции.

Если > , то реакция идет с выделением энергии, если же < , то реакция идет с поглощением энергии. Отметим, что в последнюю формулу так же, как и при вычислении энергии связи ядра, мы можем подставлять массу изотопов, а не ядер, так как поправки на массу электронов оболочки входят с разными знаками и поэтому исключаются.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми d=15 см, текут токи I₁=70 A и I₂=50 А в противоположных направлениях (рис. 2). Найти магнитную индукцию В в точке А удаленной на r₁=20 см от первого и r₂=30 см от второго проводника.

Решение. Согласно принципу суперпозиции полей магнитной индукции в точке А равна векторной сумме магнитных индукций, созданных каждым током в отдельности:

.

Модуль вектора В на основании теоремы косинусов равен

, (1)

Вычислим . По теории косинусов запишем

,

где – расстояние между проводами.

Отсюда

^.

Значения индукций и найти по формулам

; .

Подставив значения и в формулу (1), получим

Пример 2. Плоский квадратный контур со стороной а=10 см, по которому течет ток силой 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле с индукцией В=1 Тл. Найти работу, совершаемыми внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон на угол . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. На контур с током в магнитном поле действует механический момент

М= (1)

По условию задачи, в начальном положении контур свободно установившийся в магнитном поле (М=0), а значит , т. е. векторы совпадают по направлению. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникнет момент сил, определенной формулой (1), будет стремиться возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами.

(2)

Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что , где I – сила тока в контуре, S= – площадь контура, получим

Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол :

Дж.

Пример 3. Электрон ускоренный разностью потенциалов U=6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом и начинает двигаться по винтовой линии (см. рисунок). Индукция магнитного поля В=1,3×10 Тл. Найти радиус R витка и шаг h винтовой линии.

Решение. Так как магнитное поле направлено под углом к скорости электрона, то дальнейшее его движение представляет геометрическую сумму двух одновременных движений: вращение по окружности со скоростью в плоскости, перпендикулярной силовым линиям, и перемещения вдоль поля со скоростью . В результате одновременного участия в движениях по окружности и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии.

Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона , где F= и . Тогда

.

Следовательно, радиус винтовой линии равен

. (1)

Подставив значения величин m, v, е, В и α и произведя вычисления, получим

R =0,19 мм.

Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью v _х за время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот:

h = v_xT = v ·cosα· T, (2)

где − период вращения электрона. Подставив это выражение для Т в формулу (2), найдем

.

Подставив в эту формулу значения величин π, R и α и вычислить, получим

h =2,06 мм.

Пример 4. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,1Тл равномерно вращается рамка, содержащая N=1000 витков, с частотой n=10c^-1. Площадь S рамки равна 150 см² . Определить мгновенное значение э.д.с. ε_i, соответствующему углу повороту рамки в 30^о.

Решение: Мгновенное значение э.д.с. индукции ε_i определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея – Максвелла:

(1)

Потокосцепление

ψ=NФ,

где N – число витков, пронизываемых магнитным потоком Ф. Подставив выражение ψ в формулу (1) получим

(2)

При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающей рамку в момент времени t, изменяется по закону , где В – магнитная индукция; S – площадь рамки; ω – круговая частота.

Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найден мгновенное значение э.д.с. индукции:

(3)

Круговая частота ω связана с частотой n вращения соотношением . Подставив выражение ω в формулу (3), получим:

(4)

Произведя вычисление по формуле (4), найдем

ε_i=47,1В

Пример 5. При скорости изменения силы точка в соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает э.д.с. самоиндукции ε_i=0,08В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение: Индуктивность соленоида связана с э.д.с. самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением:

.

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим:

.

Опустив знак «минус» в этом равенстве (направление э.д.с. в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину – индуктивность, получим:

Сделав вычисление по этой формуле, найдем

L=1,6 мГн.

Пример 6. От двух когерентных источников S₁ и S₂ (l=0,8 мкм) лучи попадают на экран. На экране наблюдается интерференционная картина. Когда на пути одного из лучей перпендикулярно ему поместили мыльную пленку (n=1,33), интерференционная картина изменилась на противоположную. При какой наименьшей толщине d_min пленки это возможно?

Решение. Изменение интерференционной картины на противоположную означает, что на тех участках экрана, где наблюдались интерференционные максимумы, стали наблюдаться интерференционные минимумы.

Оптическая разность хода световых волн, распространяющихся в воздухе от источников S₁ и S₂ до точки P, равна

(1)

где и - геометрические пути световых волн; n_o – абсолютный показатель преломления воздуха (n_o = 1).

Если в точке P наблюдается интерференционный максимум, то

, (2)

где = 0, ±1, ±2, ±3 ….; - длина световой волны в воздухе (вакууме).

После внесения мыльной пленки оптическая разность хода указанных световых волн становится равной

, (3)

где d – толщина мыльной пленки; n – ее абсолютный показатель преломления.

Поскольку в точке P теперь наблюдается интерференционный минимум, то

. (4)

Из равенств (3) и (4) следует, что

. (5)

Используя выражения (1) и (3), получаем из равенства (5):

. (6)

Отсюда находим толщину мыльной пленки:

. (7)

Очевидно, что толщина мыльной пленки минимальна, когда =0:

.

Пример 7. Плосковыпуклая линза (n=1,5) выпуклой стороной прижата к стеклянной пластинке. Расстояние между четвертым и третьим кольцами Ньютона, наблюдаемыми в отраженном свете, равно 0,4 мм. Найти оптическую силу линзы, если освещение производится монохроматическим светом с l=550 нм, падающим нормально к плоской поверхности линзы.

Решение. По условию задачи плосковыпуклая линза находится в воздухе.

Для нее оптическая сила

, (1)

где n – абсолютный показатель преломления линзы; R – радиус сферической поверхности линзы.

Радиус темного кольца Ньютона в отраженном свете

, (2)

где - длина световой волны в воздухе (вакууме); k =0,1,2,3…

Разность радиусов четвертого и третьего темных колец

или . (3)

Подставив (2) в (1), найдем искомую оптическую силу линзы:

Пример 8. На щель шириной а=0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (l=0,6 мкм). Определить ширину центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, находящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от линзы на расстоянии L=1 м.

Решение. Центральный максимум интенсивности света занимает область между ближайшими от него справа и слева минимумами интенсивности.

Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами j, определяемыми условием

, (1)

где - длина световой волны в воздухе (вакууме); k – порядок минимума (k = 1,2,3…). По условию задачи k = 1.

Расстояние между двумя минимумами на экране определим непосредственно по чертежу: . При малых углах , перепишем эту формулу в виде

. (2)

Выразим из формулы (1) и подставим его в равенство (2):

. (3)

Произведя вычисления по формуле (3), получим

см.

Пример 9. На дифракционную решетку длиной =15 мм, содержащую N=3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной волны l=550 нм. Найти число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки.

Решение. Постоянная d дифракционной решетки, длина световой волны l и угол j дифракции световой волны, соответствующий k-му максимуму интенсивности света, связаны соотношением

(1)

Для определения числа максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки, вычислим сначала максимальное значение k_max исходя из того, что максимальный угол дифракции световой волны не может превышать 90⁰.

Из формулы (1) находим

(2)

:

(3)

Постоянная дифракционной решетки

. (4)

Тогда

.

Значение k должно быть целым, следовательно .

Влево и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному , т.е. всего 2 . Если учесть так же центральный нулевой максимум, получим общее число максимумов

n=2 +1.

Подставляя значение , определим

.

Пример 10. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отраженный от пластины пучок света составляет угол j = 97⁰ с падающим пучком. Найти абсолютный показатель преломления n жидкости, если отраженный свет полностью поляризован. Абсолютный показатель преломления стекла равен 1,5.

Решение. Согласно закону Брюстера, свет, отраженный от диэлектрика, полностью поляризован в том случае, если тангенс угла падения

,

где - относительный показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости).

Относительный показатель преломления равен отношению абсолютных показателей преломления этих сред. Следовательно,

.

Согласно условию задачи, угол между падающим и отраженным лучами равен j. Так как угол падения равен углу отражения, то I_Б= и, следовательно, , откуда

Пример 11. Найти, во сколько раз ослабится интенсивность света прошедшего поляризатор и анализатор, расположенные так, что угол между их главными плоскостями a = 30⁰ и в каждом из них теряется 8% падающего света (см.рис.).

Решение. Коэффициент потерь света в поляризаторе и анализаторе

K = + , (1)

где и - соответственно коэффициенты отражения и поглощения света в обоих поляризаторах.

Естественный свет, проходя через поляризатор Р, превращается в плоскополяризованный и его интенсивность на выходе из поляризатора

. (2)

Согласно закону Малюса, интенсивность света на выходе из анализатора

I₂=I₁(1-K)cos²a, (3)

где - угол между главными плоскостями поляризаторов.

Выразив I₁ из (3) и подставив в (2), получаем

. (4)

Искомое ослабление интенсивности при прохождении света через поляризатор и анализатор

Пример 12. Температура внутренней поверхности печи при открытом отверстии диаметром 6 см равна 650⁰С. Принимая, что отверстие печи излучает как абсолютно черное тело, найти, какая доля мощности рассеивается стенками, если мощность, потребляемая печью составляет 600 Вт.

Решение. Поток излучения, испускаемого отверстием

, (1)

где – энергетическая светимость абсолютно черного тела; - площадь отверстия.

Согласно закону Стефана-Больцмана

, (2)

где T – термодинамическая температура; - постоянная Стефана-Больцмана.

При установившемся тепловом режиме печи мощность, рассеиваемая стенками и излучаемая через отверстие, равна потребляемой мощности P.

Поэтому мощность, рассеиваемая стенками печи, равна

P_рас. = P – Ф. (3)

Доля мощности, рассеиваемой стенками печи, равна

(4)

Используя выражения (1) и (2), получим искомую долю мощности, рассеиваемой стенками

Пример 13. Черное тело находится при температуре 1500 К. При остывании этого тела длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на Dl=5 мкм. Найти температуру, до которой тело охладилось.

Решение. Длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости черного тела, согласно закону смещения Вина, обратно пропорциональна его термодинамической температуре T:

, (1)

где b – постоянная Вина;

Следовательно, с остыванием тела l_max смещается в сторону более длинных волн. Тогда

(2)

Учитывая формулу (1), выражение (2) запишется в следующем виде

. (3)

Откуда находим искомую температуру

Пример 14. Найти температуру, при которой средняя энергия молекул двухатомного газа равна энергии фотонов, соответствующей излучению с λ=500нм.

Решение: Средняя энергия молекулы­

, (1)

где i - число степеней свободы двухатомной молекулы газа, включающее колебательную степень свободы (i = 7); k - постоянная Больцмана (k=1,38·10^-23 Дж/К); T – термодинамическая температура.

Энергия фотона ­

. (2)

Приравняв, согласно условию задачи, правые части выражений (1) и (2), получим:

.

Пример 15. Определить длину волны фотона, импульс которого равен импульсу электрона, прошедшего разность потенциалов U=10 В.

Решение. По известной массе m_ф и скорости c (скорость света в вакууме) фотона можно найти его импульс p_ф:

ε = hν = m_фc²;

p_ф = m_фc = . (1)

Кинетическая энергия электрона, прошедшего разность потенциалов U,

,

где p_e – импульс; m_e - масса (m_e=9,1·10^{-31 кг); е - заряд электрона (е=l,6·10-19} Кл).

Откуда импульс электрона

. (2)

Приравняв, согласно условию задачи, правые части выражений (1) и (2), получим

;

м.

Пример 16. Найти температуру, при которой средняя энергия молекул двухатомного газа равна энергии фотонов, соответствующей излучению с λ=500нм.

Решение. Средняя энергия молекулы­

, (1)

где i - число степеней свободы двухатомной молекулы газа, включающее колебательную степень свободы (i=7); k - постоянная Больцмана (k=1,38·10^-23Дж/К); T – термодинамическая температура.

Энергия фотона ­

. (2)

Приравняв, согласно условию задачи, правые части выражений (1) и (2), получим:

.

Пример 17. Найти длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией Т=60 эВ.

Решение. Длина волны де Бройля

, (1)

где p – импульс электрона.

Так как по условию задачи кинетическая энергия электрона 60 эВ, то он является нерелятивистской частицей:

Т << m_oc²,

где m_oc² = 0,512 МэВ – энергия покоя электрона.

Кинетическая энергия нерелятивистской частицы ,

где m_o – масса покоя частицы.

Поэтому импульс электрона . (2)

Подставив выражение (2) в формулу (1), получим искомую длину волны де Бройля:

Пример 18. Определить, какая доля начального количества ядер радиоактивного изотопа останется нераспавшейся по истечении времени t, равного двум средним величинам времени жизни τ радиоактивного ядра.

Решение. Количество нераспавшихся ядер радиоактивного изотопа по истечении времени t

. (1)

Постоянная радиоактивного распада λ связана со средним временем τ жизни радиоактивного элемента

. (2)

Согласно условию t = 2τ и c учетом (2) получим

. (3)

Выразив t в формуле (1) через (3), получим

.

Откуда

.

Пример 19. Вычислить дефект массы Δm и энергию связи Е_св ядра .

Решение. Дефект массы ядра определим по формуле

.

Подставив в эту формулу величины масс частиц, выраженные в атомных единицах массы, получим

Δm = 0,08186 а.е.м.

Энергия связи ядра­

.

Подставив в это выражение значения с² и Δm, получим

E_св =931,4 МэВ/а.е.м. · 0,08186 а.е.м. = 76,2 МэВ = 12,2 пДж.

Пример 20. Найти энергию ядерной реакции , если известно, что кинетическая энергия протона Т_Н = 5,45 МэВ, ядра гелия T_Не = 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90º к направлению движения протона. Ядро-мишень неподвижно.

Решение: Энергия ядерной реакции Q есть разность суммы кинетических энергий ядер-продуктов реакции и кинетической энергии налетающего ядра

Q = (T_Li + T_He) – T_H. (1)

B этом выражении неизвестна кинетическая энергия T_Li лития. Для ее определения воспользуемся законом сохранения импульса

p_H = p_He + p_Li. (2)

Векторы импульсов p _H и p _He по условию задачи взаимно перпендикулярны и, следовательно, вместе с вектором p _Li образуют прямоугольный треугольник.

Поэтому . (3)

Подставим в это равенство импульсы ядер, выраженные через их кинетические энергии. Так как кинетические энергии ядер по условию задачи намного меньше энергий покоя этих ядер, то можно воспользоваться классической формулой

, (4)

где m_o – масса покоя данного ядра.

Заменив в уравнении (3) квадраты импульсов ядер их выражениями (4), после упрощения получим

,

откуда

.

Подставив числовые значения физических величин в формулу (1), найдем, что

Q = (T_He + T_Li) - Т_Н = 2,13 МэВ.

Поиск по сайту: