Інтервальний метод Ньютона

Курсова робота

на тему:

Застосування математики лінійних функціональних інтервалів для розв’язування систем алгебраїчних і трансцендентних рівнянь

Виконала:

студентка групи ПМа-41

Ільків Ю.Б.

Керівник:

проф. Сеньо П.С.

Львів 2015

ЗМІСТ

Вступ…………………………………………………………………………...…..3

Постановка задачі.………………………………………………………………...8

1. Теоретичні відомості...……………………………………………….………...9

1.1. Інтервальний метод Ньютона………... ………………………………9

1.2. Поняття лінійного функціонального інтервалу.………………….…12

1.2.1. Арифметичні операції над лінійними функціональними інтервалами…………………………………...…………………..…12

1.3. Метрика простору (лін. функц.??)інтервалу. Ширина (лін. функц.??)інтервалу………………………………………………………….19

1.4. Одновимірний випадок розв’язування нелінійних рівнянь………..20

1.5. Математика лінійних функціональних інтервалів в багатовимірних просторах…………………………………………………………………….21

1.5.1. Спрощені лінійні інтервальні обмежники………………….22

1.5.2. Арифметичні операції із спрощеними лінійними інтервальними обмежниками………………………………………...23

1.6. Багатовимірний випадок розв’язування нелінійних рівнянь……….25

2. Програмна реалізація та числові експерименти………………………...…..24

2.1. Постановка задачі…………………………………………………….24

2.2. Проектування і реалізація………………………………..……….….24

2.3. Інтерфейс, робота програми та результати……………………....…25

Висновки…………………………………………………………………….……27

Список використаної літератури………………………………………………..28

ВСТУП

Інтервальний аналіз - це галузь математичного знання, що досліджує завдання з інтервальними невизначенностями і методи їх вирішення.

Можна дати і більш розгорнуте визначення. Кожна наукова дисципліна характеризується, як відомо, своїм окремим предметом і власним специфічним методом. На наш погляд, інтервальний аналіз – це область знань на перетині обчислювальної математики та інформатики, предметом якої є вирішення задач з інтервальними невизначеностями і неоднозначністю даних. Інтервальний аналіз і його специфічні методи мають, таким чином, найбільшу цінність в задачах, де невизначеність і неоднозначність виникають на самому початку.

Інтервальна ідея, по своїй суті – алгоритмічна і потребує вирішення на обчилювальній машині.

Основні засади інтервальної арифметики полягають у розв’язуванні задач, пов’язаних із моделюванням об’єктів за умов інтервальних даних, які можуть бути розраховані за допомогою інтервального підходу, теоретичною основою якого є інтервальні обчислення.

Інтервальним розширенням F(x) функції f(x) на інтервалі X називається такий інтервал, який для кожного x X задовольняє умову f(x) F(X). Отже, якщо інтервал X вироджений, тобто є точкою x ≡ X = [x,x], то F(X) = f(x). Важливою властивістю інтервального розширення функції є монотонність його за включенням, тобто, якщо X⊂Y, то f(X)⊂f(Y).

Однак визначення інтервального розширення функції неоднозначне. Розрізняють наступні дві конкретизації цього поняття.

Об’єднаним розширенням Wf_f(X) функції f(x) на інтервалі X називаються інтервал

Wf_f(X) = (x) = .

Якщо функція f(x) неперервна, то її об’єднане розширення на інтервалі X співпадає з її областю значень на цьому інтервалі, тобто

.

Аналітичний вираз функції f(x) будемо трактувати як запис обчислювальної процедури, результатом якої є значення функції f(x) для довільного фіксованого значення аргументу x. Замінимо в аналітичному виразі функції f(x) всі операнди та операції над ними на відповідні їм інтервальні операнди та операції. Якщо в цьому разі отриманий так інтервал f(X) називають інтервальною функцією, природнім інтервальним розширенням функції, або і просто інтервальним розширенням функції. При цьому арифметичні операції над інтервалами виконуються так:

Якщо , то .

Постановка задачі

Вивчити математику лінійних функціональних інтервалів та основні відомості з інтервального аналізу. Отримані навики продемонструвати програмною реалізацією розв’язання систем алгебраїчних і трансцендентних рівнянь в пакеті Mathematica.

Інтервальний метод Ньютона

Припустимо, що – неперервно диференційована функція, що має нуль на інтервалі x, тобто Тоді для будь якої точки з того ж інтервалу в силу теореми про середнє значення:

Де 𝜉 – деяка точка між . Ну так, як , звідси слідує:

Якщо являється яким-небудь інтервальним розширенням похідної функції на x, то і

Означення. Для заданої функції f відображення

Діє згідно правила:

Називається інтервальним оператором Ньютона.

Припустимо, на деякий час, що , так що являється кінцевим оператором. Так як, будь який нуль функції на x лежить також і в , то доречно взяти в якості наступного більш точного наближення до розв'язання перетину

яке виявиться, принаймні, не гірше x.

Далі, якщо , ми можемо надати сенс оператору Ньютона, скориставшись інтервальною арифметикою. В дійсності ця модифікація навіть підсилить інтервальний метод Ньютона, так як ми отримаємо можливість відокремлювати розв'язок один від одного: в результаті виконання кроку інтервального методу Ньютона при ,отримаємо, як правило, два непересічних інтервали.

Поиск по сайту: