АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Одновимірний випадок розв’язування нелінійних рівнянь

Читайте также:
  1. Випадок 3: додавання взаємно перпендикулярних коливань з однаковими частотами
  2. Епізод «Тяжкий випадок»
  3. Лабораторна робота № 5. Розв’язування оптимізаційних задач в MathCad. Метод золотого перетину
  4. Методи оцінюванні параметрів системи одночасних структурних рівнянь.
  5. Нелінійна регресія. Класи нелінійних регресій.
  6. Огляд місця, де стався нещасний випадок
  7. Одновимірний стиск
  8. Основні поняття диференціальних рівнянь
  9. про нещасний випадок, пов'язаний з виробництвом
  10. Різниця цих рівнянь і дасть рівняння утворення кристалогідрату
  11. Страхові допомоги Фонду загальнообов'язкового державного соціального страхування України на випадок безробіття

Нехай потрібно знайти всі дійсні корені рівняння

(1)

в інтервалі , де . Функція на цьому інтервалі може бути і розривною, і/або недиференційованою. Побудуємо для неї на інтервалі лінійний інтервальний обмежник = . Його обмежуючі функції кусково – лінійні. Тому на кожному з інтервалів , де , лінійний обмежник буде деяким елементарним лінійним обмежником , (), тобто

=

(2)

Тому, аналізуючи обмежуючі функції цих елементарних лінійних обмежників, легко виділити інтервали інтервалу , які, і лише вони, містять всі дійсні корені рівняння (46) з інтервалу . Для цього обчислимо значення всіх обмежуючих функцій цих елементарних лінійних обмежників на кінцях всіх інтервалів . Зауважимо, що запропонований алгоритм побудови лінійних інтервальних обмежників автоматично синтезує всі ці значення вже в процесі їх побудови.

Алгоритм

Нехай

, , (), (3)

, (4)

. (5)

Тоді:

1. якщо і , або і , то на проміжку немає коренів рівняння (1);

2. якщо , і , то у проміжку лише на проміжку є корені рівняння (1), де числа , визначаємо за формулами (4), (5), відповідно;

3. якщо , , , , то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (4);

4. якщо , , , , то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (4);

5. якщо , , , ,, то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (5);

6. якщо , , , ,, то у проміжку лише на проміжку можуть бути корені рівняння (1), де число визначаємо за формулою (5);

7. якщо , , , , то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1);

8. якщо , , , , то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1);

9. якщо і = =0, то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1), причому - корінь цього рівняння;

10 якщо і = =0, то на всьому проміжку можуть бути корені рівняння (1), причому - корінь цього рівняння;

11. якщо і = =0, то на проміжку лише число є коренем рівняння (1);

12. якщо і = =0, то на проміжку лише число є коренем рівняння (1);

13. якщо , то всі точки проміжку є коренями рівняння (1).

Зауваження 1. Якщо в інтервалах і можуть бути корені рівняння (46), то в інтервалі обов’язково є хоча б один його корінь.

Після локалізації інтервалів, де є, або можуть бути корені рівняння (46), далі пошук коренів цього рівняння продовжуємо за описаним вище алгоритмом окремо в кожному з цих інтервалів.

Приклад 1. Нехай потрібно знайти в інтервалі всі дійсні корені рівняння .

Послідовно знаходимо лінійні інтервальні обмежники всіх елементарних функцій цього рівняння. Нехай – множина точок інтервалу розбиття лінійного інтервального обмежника відповідної функції на елементарні лінійні інтервальні обмежники; , , , - множини кутових коефіцієнтів та зміщень верхніх та нижніх її лінійних елементарних обмежуючих функцій, відповідно; на інтервалах , а , - множини верхніх та нижніх значень, відповідно, у точках її елементарних лінійних обмежуючих функцій. Тоді:

для функції :

= {-2, -0.5, 1, 2.5, 4, 4.5, 5, 5.5, 6},

= {-10.5, -7.5, -4.5, -1.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5},

= {-12., -6., -6., 0., 0., 2., 2., 4.},

= {6., 7.5, 4.5, -3., -11., -15.5, -20.5, -26.},

= {3., 6., 6., -9., -9., -18., -18., -29.},

= {27., 11.25, 0., -6.75, -9., -8.75, -8., -6.75, -5.},

= {27., 9., 0., -9., -9., -9., -8., -7., -5.};

для функції :

= {-2, -1.81153, -1.375, -1.11811, -0.75, 0.303752, 2.625, 4.01928, 6},

= {4., 1.14286, 1.14286, 0.666667, 0.666667, 0.205128, 0.205128, 0.121212},

= {2.98102, 1.58279, 1.00206, 0.764924, 0.504956, 0.278538, 0.18041, 0.138612},

= {8.30685, 3.13104, 3.13104, 2.59861, 2.59861, 2.73881, 2.73881, 3.07609},

= {6.26889, 3.73595, 2.93745, 2.6723, 2.47733, 2.5461, 2.80369, 2.97169},

= {0.306853, 1.06072, 1.55962, 1.85321, 2.09861, 2.80111, 3.27727, 3.56327, 3.80336},

= {0.306853, 0.868677, 1.55962, 1.81704, 2.09861, 2.63071, 3.27727, 3.52881, 3.80336};

для функції :

= {-2, -0.80167, -0.25, 0.94833, 1.5, 2.05167, 3.25, 3.80167, 5},

= {0.027811, 0.0856473, 0.314646, 0.968989, -0.968989, -0.314646, -0.0856473, - 0.027811},

= {0.0108304, 0.122532, 0.122532, 1.38629, -1.38629, -0.122532, -0.122532, -0.0108304},

= {-0.936565, -0.8902, -0.83295, -1.45348, 1.45348, 0.110986, -0.633258, -0.853132},

= {-0.970527, -0.880979, -0.880979, -2.07944, 2.07944, -0.513382, -0.513382, -0.938035},

= {-0.992188, -0.958861, -0.911612, -0.534563, 0., 0., -0.534563, -0.911612, -0.958861, -0.992188},

= {-0.992188, -0.979209, -0.911612, -0.764778, 0., 0., -0.764778, -0.911612, -0.979209, -0.992188}.

Далі виконуємо операції згідно аналітичного запису лівої частини даного рівняння за описаною вище методикою над так утвореними лінійними інтервальними обмежниками. В результаті отримаємо лінійний інтервальний обмежник лівої частини даного рівняння. Множини , , , , , , його такі:

= {-2, -1.90577, -1.81153, -1.59327, -1.375, -1.35785, -1.3407, -1.24655, -1.22941, -1.11811, -0.934054, -0.80167, -0.75, -0.625, -0.5, -0.25, -0.0981238, 0.303752, 0.651876, 0.94833, 1, 1.5, 1.75, 2.11731, 2.5, 2.5625, 2.625, 3.3125, 3.75, 4, 4.00964, 4.01928, 4.25964, 4.36731, 4.5, 4.75, 5, 5.25, 5.5, 5.75, 6},

= {105.056, 89.2249, 17.7361, 7.25929, 7.25929, 7.25929, 7.25929, 1.09386, 1.09386, -7.35382, -12.5073, -11.929, -11.929, -15.429, -8.63312, -6.34314, -14.3807, -16.7907, -18.933, -12.3896, -3.021, -22.0262, -25.7865, -18.8033, -9.07591, -9.18036, -8.49959, -9.24378, -7.32337, -0.271835, -0.270096,0.123206, 0.156523, 0.465142, 4.12922, 4.23318, 8.03654, 8.20981, 12.1518, 12.3944},

= {73.5426, 66.8007, 24.6942, 16.4029, 0.726929, 0.314512, -1.23002, -1.23002, -3.90668, -10.8276, -14.2065, -13.0895, -18.656, -20.1709, -8.79676, -8.79676, -11.2319, -13.9771, -15.1407, -2.50312, -4.72374, -32.4496, -34.2958, -21.0455, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -2.45882, -1.70357, -1.70357, -1.11799, 6.1251, 6.36752, 6.36752, 6.60995, 14.0955, 14.5803},

= {243.475, 213.305, 83.8004, 67.1081, 67.1081, 67.1081, 67.1081, 59.4226, 59.4226, 49.9772, 45.1635, 45.6272, 45.6272, 43.4397, 46.8376, 47.4101, 46.6214, 47.3535, 48.75, 42.5447, 33.1761, 61.6839, 68.2644, 53.4787, 29.1603, 29.4279, 27.6409, 30.1061, 22.9045, -5.30161, -5.30859, -6.88938, -7.0313, -8.37913, -24.8675, -25.3613, -44.3781, -45.2877, -66.9686, -68.3634},

= {180.448, 167.6, 91.3225, 78.1123, 56.5579, 55.9978, 53.9271, 53.9271, 50.6364, 42.898, 39.742, 40.6374, 36.4626, 35.5158, 41.2028, 41.2028, 40.9639, 41.7978, 42.5563, 30.5716, 32.7923, 74.3811, 77.6119, 49.5569, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 3.09017, 0.0546329, 0.0546329, -2.5028, -35.0967, -36.2482, -36.2482, -37.5209, -78.6912, -81.4791},

= {33.3632, 43.263, 51.6709, 55.5421, 57.1266, 57.2511, 57.3756, 58.059, 58.0778, 58.1995, 56.846, 55.1903, 54.5739, 53.0828, 51.1542, 48.9959, 48.0325, 42.2533, 36.408, 30.7952, 30.1551, 28.6446, 23.138, 19.4168, 6.47053, 5.90328, 5.32951, -0.513959, -0.750527, -6.38895, -6.39157, -6.39418, -6.36456, -6.09357, -6.28599, -5.25369, -4.19539, -2.18625, -0.133803, 2.90414, 6.171},

= {33.3632, 40.2933, 46.5882, 51.9781, 55.5583, 55.5708, 55.5762, 55.4604, 55.4393, 55.0045, 530116, 51.1309, 50.4546, 48.1226, 45.6012, 43.402, 42.066, 37.5522, 32.6864, 28.1979, 28.0685, 25.7067, 17.5943, 13.5547, -2.97428, -3.21054, -3.36422, -5.05466, -5.1301, -6.4392, -6.76879, -6.48231, -7.20196, -7.00719, -7.53373, -6.00246, -4.41058, -2.8187, -1.16621, 2.35765, 6.04694}.

Отже, врахувавши зауваження 1, отримуємо два проміжки

[ , ] = [2.35475, 3.25189], [ , ] = [5.511, 5.58272],

у яких і лише там у інтервалі містяться корені даного рівняння.

Обчислимо ширину отриманих інтервалів ([ , ]) = 0.89714, ([ , ]) = 0.07172. Отже в результаті всього однієї ітерації алгоритму відбулася ізоляція і локалізація коренів даного рівняння в інтервалі , а сумарна ширина інтервалів невизначеності місця їх знаходження зменшилася більше ніж у вісім разів: одного кореня – у дев’ять разів, другого – в сто одинадцять разів. Далі пошук коренів цього рівняння (друга ітерація) продовжуємо за описаним вище алгоритмом окремо в інтервалах. [2.35475, 3.25189], [5.511, 5.58272].

 

Рис. 1 Графік функції лівої частини рівняння прикладу 1

 

Рис.2 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі першого кореня рівняння прикладу 1

Рис.3 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі другого кореня рівняння прикладу 1

Друга ітерація. на інтервалі = [2.35475, 3.25189]:

Отримуємо проміжок [ , ] = [2.94178, 2.94629], у якому в інтервалі містяться корені заданого рівняння.

Обчислимо ширину отриманого інтервалу: ([ , ]) = 0.00451. Отже в результаті другої ітерації алгоритму ширина інтервалу невизначеності місця знаходження першого кореня зменшилася майже у 199 разів (у 198,92 разів), що еквівалентне 46 - ому порядку збіжності.

Рис.4 Графік функції лівої частини рівняння прикладу 1 в околі першого кореня

Рис.5 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння прикладу 4 (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі першого кореня

на інтервалі [5.511, 5.58272]:

Отримуємо проміжок [ , ] = [5.52038, 5.52041], у якому в інтервалі містяться корені даного рівняння.

Обчислимо ширину отриманого інтервалу: ([ , ]) = 0.00003. Отже в результаті другої ітерації алгоритму ширина інтервалу невизначеності місця знаходження другого кореня даного рівняння зменшилася майже у 2391 раз (у 2390.66666 разів), що еквівалентне четвертому (4 -ому) порядку збіжності.

Далі пошук коренів цього рівняння (третя ітерація) продовжуємо за описаним вище алгоритмом в інтервалах. [2.94178, 2.94629], [5.52038, 5.52041].

Рис.6 Графік функції лівої частини рівняння прикладу 1 в околі другого кореня

Рис.7 Фрагменти графіків функції лівої частини рівняння прикладу 1 (середній графік) та обмежуючих функцій лінійного обмежника в околі другого кореня

 

 

Результати проведених обчислень оформимо у вигляді таблиці

Таблиця 1.

Результати розв’язування прикладу 1

Номер ітерації () Інтервал (вихідний) Ширина інтервалу Коефіцієнт зменшення ширини Порядок збіжності Кількість точок розбиття
  [-2, 6]   - - -
1-1 [2.35475, 3.25189], 0.89714   ?  
2-1 [2.94178, 2.94629] 0.00451      
           
1-2 [5.511, 5.58272]. 0.07172   ?  
2-2 [5.52038, 5.52041], 0.00003      

 


 


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.015 сек.)