Основні поняття диференціальних рівнянь

Рівняння вигляду ,

що зв'язує незалежну змінну х, шукану функцію і її похідні різних порядків, називається звичайним диференціальним рівнянням. Порядок n старшої похідної, що входить в запис рівняння називається порядком диференціального рівняння.

Приклад. xdy=ydx,

Рівняння, що містить похідні або диференціали не вище за перший порядок, називається диференціальним рівнянням першого порядку.

Вирішенням диференціального рівняння називається функція, яка, будучи підставлена в рівняння, обертає його в тотожність.

Процес знаходження вирішення деякого диференціального рівняння називається інтегруванням даного диференціального рівняння.

Загальним вирішенням диференціального рівняння n-ого порядку називається таке його рішення

яке є функцією змінної х і n довільних незалежних постійних . (Незалежність постійних означає відсутність яких-небудь співвідношень між ними).

Приватним вирішенням диференціального рівняння називається рішення, що отримується із загального рішення при деяких конкретних числових значеннях постійних . Задача знаходження приватного рішення диференційного рівняння зветься задача Коши, задача Коши окрім диференційного рівняння повинна мати початкові умови.

Приклад. Розв'язати рівняння xdy=ydx, якщо при х=0 у=1

Диференціальні рівняння першого порядку із змінними, що розділяються.

Якщо кожна частина диференціального рівняння представляє собою твір деякого вираження, залежного від однієї змінної, на диференціал цієї змінної, то говорять, що змінні в рівнянні розділені.

Для того, щоб вирішити диференціальне рівняння із змінними, що розділяються, потрібно виробити розділення змінних, а потім узяти інтеграл від обох частин рівняння.

Приклад 1.

Розв'язати рівняння .

Рішення.

Для розділення змінних обидві частини рівняння поділимо на твір ху, отримаємо:

Інтегруючи обидві частини останнього рівняння, знайдемо:

У правій частині додане постійне у вигляді для полегшення потенціювання. Звільняючись від символу логарифма, тобто потенціюючи, отримаємо:

.

Приклад 2.

Розв'язати рівняння , якщо при

Рішення.

Після розділу змінних отримаємо:

Для потенціювання потрібно і праву частину останньої рівності написати із знаком логарифма. Згідно визначення логарифма маємо:

Отже, загальне рішення можна переписати у вигляді

Знаходимо С із умови зробив заміну, отримаємо:

або

Завдання до самостійної роботи

Поиск по сайту: