Первісна функції та її властивості

Визначення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на деякому проміжку, якщо для всіх значень аргументу з цього проміжку виконується рівність:

Із означення виходить, що первісна F(x) — диференційована, а значить неперервна функція на проміжку.

Приклад. Знайти первісну функції

Рішення.

Але , тому що

Також -є первісною цієї функції …..

Теорема (про множину первісних). Якщо F(x) — первісна для функції f(х) на проміжку, то F(x) + C — також первісна для f(x) на проміжку, де С -постійна.

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку відрізняються між собою на сталу величину.

Операція знаходження первісних для функції f(x) називається інтегруванням f(x).

Невизначений інтеграл

Означення: Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(х) на проміжку, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку і позначається:

.

— знак невизначеного інтеграла;

f(x) — підінтегральна функція;

f(x)dx — підінтегральний вираз;

dx — диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає у тому, що функція

у=F(X) + С є рівняння однопараметричної сім'ї кривих, які одержуються одна

з другої шляхом паралельного переносу вздовж осі ординат

у

x

Властивості невизначеного інтегралу

а) Інтеграл від диференціалу функції є сама функція + постійна:

.

б) Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

.

в) Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто .

г) Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

.

Таблиця інтегралів

Поиск по сайту: