Теореми додавання та множення ймовірностей

Сумою А+В називається подія, що складається в появі події А, чи події В, чи обох цих подій. Наприклад, якщо із гармати зроблено два постріли і подія А – улучення при першому пострілі, В – улучення при другому пострілі, то подія А+В – улучення хоча б один раз.

Здобутком АВ двох подій А і В називається подія, що складається в спільній появі цих подій. Наприклад, якщо подія А – деталь стандартна, подія В – деталь пофарбована, то АВ – деталь стандартна і пофарбована.

Події називаються несумісними, якщо поява однієї з цих виключає появу інших подій у тому самому випробувані. У протилежному випадку події називаються сумісними.

Події називаються незалежними, якщо ймовірність появи однієї з них не залежить від появи інших подій. У протилежному випадку події називаються залежними.

Ймовірність події В, обчислена в припущенні, що подія А вже настала, називається умовною ймовірністю і позначається Р(В/А)

Теорема 1. Ймовірність суми двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Теорема 2. Ймовірність суми двох сумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності добутку:

Теорема 3. Сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює одиниці:

Теорема 4. Ймовірність добутку двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій:

Теорема 5. Ймовірність добутку двох залежних подій дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену в припущенні, що перша подія вже наступила:

Теорема 6. Ймовірність появи хоча б однієї з незалежних подій дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій :

Приклад. Ймовірність влучення в ціль при стрілянні з трьох гармат такі:0,8; 0,7; 0,9. Знайти ймовірність того, що при одному залпі з усіх гармат буде: а) три влучення; б) тільки одне влучення; в) хоча б одне влучення.

Рішення. Позначимо події А₁ – влучення першого снаряду; А₂ – влучення другого снаряду; А₃ – третього снаряду.

Ймовірність цих подій і протилежних їм подій, відповідно дорівнюють:

;

;

.

а) Нехай подія С – три влучення, тоді С=А₁А₂А₃, де події А₁, А₂, А₃ незалежні. Застосовуючи теорему 4 множення для незалежних подій, одержимо:

Р(С)=Р(А₁А₂А₃)=Р(А₁)Р(А₂)Р(А₃)= =0,504.

б) Нехай подія D – тільки одне влучення.

.

Застосовуючи теорему 1 додавання ймовірностей для несумісних подій і теорему 4 множення ймовірностей для незалежних подій, одержимо:

P( =

= .

в) Нехай подія Е – хоча б одне влучення. Оскільки Е=А₁+А₂+А₃, де події А₁, А₂, А₃ сумісні, зручніше перейти до протилежної події - жодного влучення.

де - незалежні події. Застосовуючи теорему 6 множення ймовірностей для незалежних подій, одержимо:

.

Поиск по сайту: