 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Диференціал функції
З поняттям похідної тісно пов'язано інше поняття математичного аналізу – диференціала функції. Хай функція 
має похідну в точці 
, тобто
На підставі однієї з властивостей межі функції 
,
де 
– б. мала величина.
– приріст функції в околиці точки 
.
Звідси видно, що приріст функції складається з двох доданків – перше 
лінійне відносно приросту аргументу ∆ х і другий доданок 
є б.м. величина.
Визначення 1. Диференціалом функції 
(позначається dy) в точці називається головна лінійна відносно приросту аргументу частина приросту функції
.
Покажемо, що приріст аргументу ∆ х дорівнює її диференціалу.
Дійсно, якщо y = x, то 
.
Таким чином, диференціал функції може бути записаний як 
.
Якщо диференціал функції визначається в будь-якій точці, то 
Визначення 2. Таким чином, диференціал функції дорівнює добутку похідної функції на диференціал її незалежної змінної.
Звідси 
,
тобто похідну функції можна розглядати як відношення диференціала функції dy до диференціала незалежної змінної dx. Звідси стає зрозумілим, чому обчислення похідної функції називається диференціюванням.
3.1.9. Геометрична інтерпретація диференціала функції.
Хай лінія L є графік функції (мал. 4)
| M |
| Y |
| X |
| x o |
| x o+∆ x |
| ∆ x |
| dy |
| ∆ y |
| T |
| L |
| α |
| A |
| N |
| f(x o+∆ x) |
| f(x o ) |
Мал. 4.
– приріст ординати функції, викликане приростом аргументу ∆ х.
– приріст ординати дотичною, проведеною до кривої в точці .
Із малюнка 4 бачимо, що 
.
Другий доданок MN прагне до нуля при прагненні ∆ х до нуля. Іншими словами, при 
відрізок MN є величиною вищого порядку, ніж АN.
Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає, що графік функції замінюється відрізком дотичної в точці х о. Ясно, що для такої заміни є підстави, якщо ∆ х досить малий.
Поиск по сайту: