Опуклість і угнутість графіка функції. Точки перегину

Визначення. Дуга називається опуклою, якщо вона перетинається з будь-якою своєю січною не більш, ніж в двох крапках. Дуга АВ на мал.7а) опукла, а на мал.7б) неопукла. В дуги на мал.7б) є січна М ₁ М ₂, яка окрім точок М ₁ і М ₂ перетинається з дугою АВ ще в інших, відмінних від цих точках М ₃.

.

Мал.7

Розглядатимемо лінії, що є графіками безперервних функцій . Якщо така лінія опукла, то її опуклість обернена або вгору (мал.8.І), або вниз (мал.8.ІІ).

Мал.8

Лінії, обернені опуклістю вгору, умовилися називати опуклими, а обернені опуклістю вниз – увігнутими. Геометрично ясно, що опукла дуга лежить під будь-який своїй дотичній.

Точки на лінії, що відокремлюють опуклу дугу від увігнутої, називаються точками перегину. На мал. 11 крапка С відокремлює опуклу дугу АС від увігнутої СВ. У точці перегину дотична пересікає лінію; у околиці цієї крапки лінія лежить по обидві сторони від дотичної.

Зв'язок між другої похідної функції і опуклістю або угнутістю графіка функції встановимо на основі простих геометричних вистав, що свідчать про те, що інтервалу убування першої похідної відповідає ділянка опуклості графіка функції, а інтервалу зростання – ділянка угнутості.

Насправді, якщо дуга опукла, то при переміщенні точки дотику зліва направо кутовий коефіцієнт дотичної, тобто , як видно з мал..11.І, зменшується; спочатку він набуває всіх менших позитивних значень, потім стає рівним нулю, а потім і негативним. Таким чином, інтервал є інтервал убування функції .

Вірно і зворотне: якщо функція убуває, то і убуває кутовий коефіцієнт дотичної до лінії, при цьому дуга кривої лежатиме під будь-який своїй дотичній, тобто вона опукла. Абсолютно аналогічно можна встановити, що якщо дуга увігнута, то функція зростає. Так, для графіка функції, змальованого на мал..11.ІІ, дуга СВ увігнута і – інтервал зростання .

Скористаємося тепер властивістю, що встановлює зв'язок між характером зміни функції і знаком її похідної. Якщо > 0, то зростає, якщо < 0, то убуває. В результаті ми отримуємо наступну залежність між другою похідною і характером опуклості або угнутості графіка функції.

Теорема. Якщо друга похідна усюди в інтервалі від'ємна, то дуга лінії , відповідна цьому інтервалу, опукла. Якщо друга похідна усюди в інтервалі додатьня, то дуга лінії , відповідна цьому інтервалу, увігнута.

Поиск по сайту: