Формула Ньютона- Лейбніца (обчислення визначеного інтеграла)

Хай функція у=f(х) безперервна на відрізку [а, b] і F(x) - будь-яка первісна для f(x) на [а, b]. Тоді певний інтеграл від функції f(х) на [а, b] дорівнює приросту первісної F(x) на цьому відрізку, тобто

Приклад.1.. Обчислити інтеграл

Властивості визначеного інтегралу

Приклад 2. Обчислити інтеграл

Рішення.

Або скорочено

Метод підстановки для обчислення визначеного інтегралу

Інтегрування за частинами для визначеного інтегралу

Приклад 3. Обчислити інтеграл

Приклад 4. Обчислити інтеграл

Рішення.

3.4.6. Обчислення площ плоских фігур, обмежених лініями:

а) б)

y y a b х

y=f(x) y=f(x)

a b х

в)

y y=f(x) y=g(x) a b x

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмежену лініями

.

Рішення.

Зобразимо фігуру, яка обмежена вказаними лініями:

.

Приклад 2. Обчислити площу фігури, обмежену лініями

.

Рішення.

Зобразимо фігуру, яка обмежена вказаними лініями:

Знайдемо точки перетину графіків точки a та b із рівняння

Обчислення об'єму тіла, утвореного обертанням

криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

а) б)

y y y=f(x) x=g(y) d a b x

с х

Приклад 3.

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням довкола осі Ох фігури, обмеженої лініями:

Рішення

Змалюємо на кресленні фігуру, об'єм якої потрібно знайти.

Оскільки отримана фігура обертається довкола осі Ох, то скористаємося формулою

Приклад 3.

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням довкола осі Ох фігури, обмеженої лініями

Рішення

Змалюємо на кресленні фігуру, об'єм якої потрібно знайти.

Оскільки отримана фігура обертається довкола осі Оу, то запишемо рівняння лінії у²=4-х у вигляді х = 4-у² і скористаємося формулою

Змістовний модуль 4

Диференційні рівняння

Тема 4.1 Диференційні рівняння

Поиск по сайту: