Метод інтегрування за частинам

Метод інтегрування за частинами, так само як і метод заміни змінною застосовується з метою зведення даного інтеграла до табличного.

Теорема. Якщо и - функції, що диференціюються, то

Приклад 1. Знайти інтеграл

Рішення. Вважаючи знайдемо необхідні для запису правої частини та . Так як то . Згідно з властивостями , маємо

. (Для спрощення покладемо С=0).

Тепер застосовуючи формулу інтеграції по частинах, отримуємо

При обчисленні інтеграла за допомогою інтеграції по частинах поважно правильно вибрати функції u і v.

Приклад 2. Знайти інтеграл

Рішення.

Приклад 3. Знайти інтеграл

Рішення.

Тема 3.4. Визначений інтеграл. Застосування визначеного інтегралу

Поняття визначеного інтеграла

Введемо поняття криволінійної трапеції. Розглянемо функцію f(x), визначену на відрізку . Фігура, обмежена лініями y=f(x), х=a, x=b, y=0 називається криволінійною трапецією.

y

f(a) y=f(x)

f(c₁)

f(x₁)

a=x₀ c₁ x₁ c₂ x₂ c₃ x₃ x_i-1 c_i x_i x_n-1 c_n x_n=b x

Розіб'ємо на n рівних частин точками хi, тоді кожне з отриманих відрізань буде рівне, , i=1,2…n. Довільним чином виберемо в кожному відрізку по одній крапці і позначимо їх c_i. Проведемо вертикальні лінії x=x_i, тоді криволінійна трапеція розіб'ється на n частин, площа кожної частини приблизно дорівнюватиме площі прямокутника із сторонами f(c_i) і . А площа криволінійної трапеції

.

Сума

називається інтегральною сумою функції f(x). Очевидно, що чим більше, тим ближче значення інтегральної суми до значення площі криволінійної трапеції. Якщо існує межа

і не залежить від вибору точок с_і, то функція називається інтегрованою, а вказана межа називається інтегралом від функції f(x) на та позначається

Отже

Тоді площа криволінійної трапеції

Поиск по сайту: